moim zdaniem straszne zadanie...
Udowodnij, stosując zasadę indukcji matematycznej, że każdy wyraz ciągu \(\displaystyle{ b_n=2^{n+5}\cdot 3^{4n} +5^{3n+1}}\) jest podzielny przez 37.
Dziękuje za pomoc
Udowodnij, że....
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8297
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1814 razy
Udowodnij, że....
Spr. dla \(\displaystyle{ n_0 = 1}\)
\(\displaystyle{ b_1 = 2^6 \cdot 3^4 + 5^4 = 37 157}\)
Zał.
\(\displaystyle{ T(k): 2^{k+5} \cdot 3^{4k} + 5^{3k + 1} = 37 p \quad p \in \mathbb{C}}\)
Teza
\(\displaystyle{ T(k+1): 2^{k+6} \cdot 3^{4k+4} + 5^{3k + 4} = 37 s \quad s \in \mathbb{C}}\)
Dowód
\(\displaystyle{ L_T = 2^{k+6}\cdot 3^{4k+4} + 5^{3k + 4} = 2 \cdot 3^{4} \left (2^{k+5} \cdot 3^{4k} + 5^{3k + 1} \right) - 2 \cdot 3^{4} \cdot 5^{3k + 1} + 5^{3k + 4} = \\
= 37 \cdot 2 \cdot 3^{4} p + 5^{3k+1} \left(5^3 - 2 \cdot 3^4 \right) = 37 \cdot 2 \cdot 3^{4} p - 37 \cdot 5^{3k+1} = \\
= 37 \left( 2 \cdot 3^{4} p - 5^{3k+1} \right) = 37s = P_T}\)
\(\displaystyle{ b_1 = 2^6 \cdot 3^4 + 5^4 = 37 157}\)
Zał.
\(\displaystyle{ T(k): 2^{k+5} \cdot 3^{4k} + 5^{3k + 1} = 37 p \quad p \in \mathbb{C}}\)
Teza
\(\displaystyle{ T(k+1): 2^{k+6} \cdot 3^{4k+4} + 5^{3k + 4} = 37 s \quad s \in \mathbb{C}}\)
Dowód
\(\displaystyle{ L_T = 2^{k+6}\cdot 3^{4k+4} + 5^{3k + 4} = 2 \cdot 3^{4} \left (2^{k+5} \cdot 3^{4k} + 5^{3k + 1} \right) - 2 \cdot 3^{4} \cdot 5^{3k + 1} + 5^{3k + 4} = \\
= 37 \cdot 2 \cdot 3^{4} p + 5^{3k+1} \left(5^3 - 2 \cdot 3^4 \right) = 37 \cdot 2 \cdot 3^{4} p - 37 \cdot 5^{3k+1} = \\
= 37 \left( 2 \cdot 3^{4} p - 5^{3k+1} \right) = 37s = P_T}\)