Matematyka.pl

mamy dana nierownosc
\(\displaystyle{ \sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}\)
dla n e N
nalezy okreslic czy to wyraznie jest wieksze czy mniejsze od 0 wyjdzie ze jest wieksze tylko teraz trzeba to dowiesc prostym sposobem.

z gory dzieki

akurat tak się składa, ze jest to mniejsze od zera oczywiście wszystkie nierówności są dla n naturalnego
korzystam z tego że :\(\displaystyle{ a-b=\frac{a^2 - b^2}{a+b}}\)
przekształcam:
\(\displaystyle{ \sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2}+\sqrt{n}=\frac{n+3-n-2}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}}+\frac{n-n-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}}-\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}}\)
teraz
n < n+3
sqrt{n} < sqrt{n+3}
sqrt{n+1} < sqrt{n+2}
sqrt{n}+sqrt{n+1} < sqrt{n+3}+sqrt{n+2}

mianownik liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}}}\)jest większy od mianownika liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}}\) więc pierwsza liczba jest mniejsza od drugiej, zatem całe wyrażenie jest mniejsze od zera

mam nadzieję, ze nie zagmatwałem tego
a jeżeli się gdzieś mylę to proszę o poprawę

A spróbujmy troszku inaczej. Przegrupujemy je i powsadzamy pod wspólne pierwiastki.

sqrt(n+3) - sqrt(n+1) - sqrt(n+2) + sqrt(n) = sqrt(n+3) + sqrt(n) - [sqrt(n+1)+sqrt(n+2)] = sqrt{[sqrt(n+3)+sqrt(n)]^2} - sqrt{[sqrt(n+1)+sqrt(n+2)]^2} - tutaj zastosowałem twierdzenie o pierwiastku z kwadratu, które jak wiemy znoszą się, gdy liczby podpierwiastkowe są dodatnie i podnosimy sobie do kwadratu

= sqrt{n+3 + 2*sqrt[(n+3)*n] + n} - sqrt{n+1 + 2*sqrt[(n+1)(n+2)] + n+2} =
= sqrt[2n+3 + 2*sqrt(n^2+3n)] - sqrt[2n+3 + 2*sqrt(n^2+3n+2)]
Wiemy, iż n należy do N, więc ten pierwiastek jest większy, którego liczba podpierwiastkowa jest większa i porównujemy. Pod pierwszym "dużym" pierwiastkiem mamy 2n+3, tak jak i pod drugim, lecz wyrażenie pod "mniejszym" pierwiastkiem w przypadku pierwszego, to n^2+3n, a w przypadku drugiego, to n^2+3n+2, czyli w drugim jest większe, więc i on cały jest większy, więc to wyrażenie początkowe jest ujemne.

No, mam nadzieje, że jest to zrozumiałe.

ok dzieki wielkie za pomoc

Może być taki ... Może nie najprostszy, ale przewaznie zawsze skuteczny jak się nie ma pomysłów. Pokazać, że zachodzi nierówność lub sprzeczność.

\(\displaystyle{ \sqrt{n+3}-\sqrt{n+2}>\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\)

Podnosimy podwójnie do kwadratu(Za każdym razem redukując i przenosząc pierwiastki na jedna strone).

1. \(\displaystyle{ 2>\sqrt{(n+3)(n+2)}-\sqrt{(n+1)n}}\)

2. \(\displaystyle{ (n+1)(n+2)}\)

mmm a to nie jest czasem nierownosc Karamaty czy jak kto woli Hardego-Litlłuda-Poly
mamy wklesla raosnaca funkcje \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x}}\) ponadto
\(\displaystyle{ n+3>n+2}\)
\(\displaystyle{ n+3+n=n+2+n+1}\)

zatem
\(\displaystyle{ f(n+3)+f(n)}\)

Czegoś tu nie widzę w tej nierówności Karamaty

Weźmy sobie
\(\displaystyle{ x_1=n+2, \,\,x_2=n+1, \,\, y_1=n+3, \,\, y_2=n}\)
\(\displaystyle{ x_1+x_2 =y_1+y_2}\)
więc mamy:
\(\displaystyle{ f(n+2)+f(n+1) q f(n+3)+f(n)}\)

A teraz inaczej
\(\displaystyle{ x_1=n+3, \,\,x_2=n, \,\, y_1=n+2, \,\, y_2=n+1}\)
\(\displaystyle{ x_1+x_2 =y_1+y_2}\)
więc mamy:
\(\displaystyle{ f(n+3)+f(n) q f(n+2)+f(n+1)}\)

Czyli mamy dwie sprzeczne nierówności, a równość nie zachodzi.

musza bys spelnione warunki:
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^i(x_j-y_j)\ge 0}\) dla kazdego \(\displaystyle{ i}\)
i ze sumy sa rowne
wtedy jak funkcja jest wklesla i rosnaca zachodzi:
\(\displaystyle{ \sum f(y)-f(x)\ge 0}\)