Matematyka.pl

Wyznaczyć granicę ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\) gdzie:

\(\displaystyle{ a_{n}= \left( \frac{1+i}{7} \right) ^n}\)

Wyznaczyć granicę ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\) gdzie:

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{ \left( i+2 \right) ^n-1}{ \left( i+2 \right) ^n+1}}\)

Należy wykazać zbiezność w odpowiedniej metryce, czyli \(\displaystyle{ \lim|z_n-g|=0}\).
Zgaduje, że w pierwszym \(\displaystyle{ g=0}\).
\(\displaystyle{ \lim |z^n|=\lim|z|^n=\lim\frac{\sqrt{2}}{7}^n=0}\).
W drugim \(\displaystyle{ g=1}\)
\(\displaystyle{ 0\le \lim| \frac{(i+2)^n-1}{i+2)^n+1}-1|=\lim|\frac{-2}{(i+2)^n+1}|\le \lim \frac{2}{|i+2|^n}=\lim\frac{2}{\sqrt{5}^n}=0}\)

w drugim nie rozumiem przejścia
\(\displaystyle{ \lim \frac{2}{|i+2|^n}=\lim\frac{2}{\sqrt{5}^n}=0}\) dlaczego z \(\displaystyle{ |i+2|^n}\) wyszedł \(\displaystyle{ \sqrt(5)^n}\)
??

Dlatego, że modułem liczby \(\displaystyle{ i+2}\) jest \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\).