Matematyka.pl

Tworzymy 5-cyfrowe hasła (z cyfr 0, 1, … 9). Hasła uważamy za podobne, gdy zbiory cyfr, z których się składają są takie same. Np. hasło \(\displaystyle{ 27311}\) jest podobne do hasła \(\displaystyle{ 77312}\), bo ich zbiory cyfr to \(\displaystyle{ {1,2,3,7}}\).

Ile jest niepodobnych haseł?

Odpowiedź:
\(\displaystyle{ 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}\) ? \(\displaystyle{ 15120}\) ?

Żeby hasła były niepodobne trzeba wylosować dwie piątki cyfr (z powtórzeniami) aby różniły się one co najmniej jedną cyfrą. Wszystkich piątek cyfr można wylosować: \(\displaystyle{ \frac{14!}{5! \cdot 9!}=2002}\) (korzystamy ze wzoru na kombinacje z powtórzeniami). I teraz wybieramy dwie różne piątki z tych, więc mamy:
\(\displaystyle{ \frac{2002!}{2000! \cdot 2!}=2003001}\)
Proszę o sprawdzenie.

A nie:

\(\displaystyle{ {10 \choose 5} + {10 \choose 4} + {10 \choose 3} + {10 \choose 2} + {10 \choose 1} = 637 ?}\)