Matematyka.pl

Dana jest macierz: \(\displaystyle{ A= \left[\begin{array}{ccc}5&0&-6\\-2&2&4\\3&0&-4\end{array}\right]}\)
Pytania: czy macierz jest diagonalizowalna?
Wyznaczyć: \(\displaystyle{ f(A)}\), gdzie \(\displaystyle{ f(x)= x^{5} - 3x^{4} + 4x^{2} +5x -6}\)

Robię tak:
wartości własne wchodzą : \(\displaystyle{ \lambda_{1}=2 (2-krotny), \lambda_{2}= (-1) (1-krotny).}\)
rząd macierzy \(\displaystyle{ A-\lambda_{1}\cdot I = 1}\)
wobec tego stwierdzam że macierz nie jest diagonalizowalna tak?
jak zabrać się za drugą część zadania?
wyliczam 2 wektory własne:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2\\0\\1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}3\\-2\\3\end{array}\right]}\)
nie mam natomiast pojęcia jak się wyznacza wektor dołączony...

Zauważ, że dla wielomianu \(\displaystyle{ p(t) =t^3 -3t^2 +4}\) mamy \(\displaystyle{ p(A) =0 ,}\) więc
\(\displaystyle{ f(A) =A^2 p(A) +5A -6 =5A-6I .}\)

Wartości własne są poprawnie policzone.

Wektor własny dla \(\displaystyle{ \lambda =-1}\) jest ok.

Natomiast dla \(\displaystyle{ \lamda =2}\) masz po postawieniu

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 3 & 0 & -6\\
-2 & 0 & 4\\
3 & 0 & 6\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}v_1\\ v_2\\ v_3 \end{array}\right]= 0}\)

Rozwiązanie jest postaci

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}2v_3\\ v_2\\ v_3 \end{array}\right]}\)

które możesz rozłożyć na dwa liniowo niezależne wektory własne

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}2v_3\\ 0\\ v_3 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ v_2\\ 0 \end{array}\right]}\)

Stąd masz pełną macierz przejścia.

Do policzenia wielomianu wykorzystaj fakt, że \(\displaystyle{ (P^{-1}AP)^n=P^{-1}A^nP}\).

Rozwiązanie od brzoskwinka1 być może jest poprawne (nie sprawdzałem), ale brak w nim jakiejkolwiek dydaktyki, niestety. Ponadto trzeba w nim i tak zrobić coś, czego albo należy unikać (potęgowanie macierzy), albo trzeba wyznaczyć (postać Jordana i macierz przejścia).-- 9 września 2013, 23:54 --Byłbym zapomniał:

cezarg1410 pisze: wobec tego stwierdzam że macierz nie jest diagonalizowalna tak?

Na mocy Twierdzenia Jordana każda macierz ma w pewnej bazie postać Jordana.

Ale postać Jordana to trochę co innego niż diagonalizowalność Dagonalizowalna jest wtedy gdy suma wymiarów podprzestrzeni własnych jest równa rzędowi endomorfozmu

Chyba więc mamy odmienne definicje diagonalizowalności macierzy.

U mnie macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1& 0\end{array}\right]}\) jest zespoloną klatką Jordana, więc jest macierzą diagonalizowalną.

A co autor tematu rozumie przez macierz diagonalizowalną?

Właśnie na zajęciach diagonalizowalność (bądź nie) macierzy określaliśmy na takich zasadach jak mówi kolegaFunktor.
Czy mogę zadać dodatkowe pytanie? Jeśli w zadaniu pojawia się pytanie: znajdź taką bazę by jakieś przekształcenie miało w tej bazie macierz w postaci kanonicznej jordana to co konkretnie muszę zrobić? Znaleźć wektory własne macierzy przekształcenia?

Co do zadania:
w takim razie:
\(\displaystyle{ P= \begin{bmatrix} 3&2&0\\-2&0&1\\3&1&0\end{bmatrix}}\)

a więc:

\(\displaystyle{ P^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} &0& \frac{2}{3} \\1&0&-1\\ -\frac{2}{3} &1& \frac{4}{3} \end{bmatrix}}\)
oraz:

\(\displaystyle{ J=\begin{bmatrix} 2&1&0\\0&2&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}\)
Czy to się zgadza?

Jak mam teraz liczyć np. piątą potęgę macierzy mając to wszystko?-- 10 wrz 2013, o 02:10 --Przepraszam za miliony pytań , po prostu jestem zielony w tych zagadnieniach...

cezarg1410 pisze: Czy to się zgadza?

Najlepiej sprawdzić dokonując prostego mnożenia macierzy.

cezarg1410 pisze: Jak mam teraz liczyć np. piątą potęgę macierzy mając to wszystko?

Zauważ, że \(\displaystyle{ A=P^{-1}JP\Rightarrow A^n=P^{-1}J^nP}\) oraz potęgowanie macierzy \(\displaystyle{ J}\) jest bardzo łatwe.

yorgin pisze:Najlepiej sprawdzić dokonując prostego mnożenia macierzy.

przemnożyłem w taki sposób: \(\displaystyle{ P^{-1}\cdot A \cdot P}\)
i wyszła mi macierz gdzie jedynymi wyrazami różnymi od zera były wyrazy na przekątnej równe wartościom własnym macierzy więc chyba jest dobrze.
Natomiast przy podnoszeniu macierzy do piątej potęgi (pierwszy wyraz wielomianu) wychodzi coś źle, bo wolfram podaje inny wynik...

Niczego w \(\displaystyle{ J}\) nie zamieniasz, gdyż powinien być spełniony warunek \(\displaystyle{ PA=JP}\) dla \(\displaystyle{ J}\) będącej takiej postaci, jaką wyznaczyłeś.

tak więc \(\displaystyle{ A^{5}= P^{-1} \cdot J^{5} \cdot P}\)
wobec tego:

\(\displaystyle{ A^{5} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} &0& \frac{2}{3} \\1&0&-1\\ -\frac{2}{3} &1& \frac{4}{3} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2&1&0\\0&2&0\\0&0&-1\end{bmatrix}^{5} \cdot \begin{bmatrix} 3&2&0\\-2&0&1\\3&1&0\end{bmatrix}}\)


i jak to wszystko wymnażam to wychodzi co innego niż podaje wolfram...

Co podaje Wolfram?

o właśnie to: \(\displaystyle{ A^{5}=\begin{bmatrix} 3125&0&-7776\\-32&32&1024\\243&0&-1024\end{bmatrix}}\)

Podaj mi swoje wszystkie obliczenia.

wyliczenia macierzy wektorów własnych i macierzy jordana pomijam bo jest to chyba dobrze (sprawdzałem).
potem wychodzą mi w tym miejscu dziwne rzeczy...
\(\displaystyle{ J^{5}=\begin{bmatrix} 32&80&0\\0&32&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}\)
potęgowanie tej macierzy powinno być łatwe stąd nie wiem dlaczego mi wychodzi te 80 ...

A mnożenie \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ P^{-1}}\) zrobiłeś?