Matematyka.pl

Witam. Znów mam problem z niektórymi przykładami z mojego zadania, tak więc proszę o pomoc w rozwiązaniu.

a)
\(\displaystyle{ \frac{1}{5-\log x}+ \frac{2}{1+\log x} = 1}\)

b)
\(\displaystyle{ \log \left( 3 ^{ \sqrt{ \frac{x ^{2}-4 }{x+3} } }+1 \right) =1}\)
Ten pierwiastek powyżej to oczywiście jest potęga - tak piszę gdyby komuś było trudno odczytać, ale pewnie się na tym latexie znacie w 100%.

a) dziedzina, potem sprowadź do wspólnego mianownika - dostaniesz po lewej jeden ułamek.
Ma on być równy \(\displaystyle{ 1}\). Co to oznacza tak właściwie? Że jego licznik i mianownik są równe - przyrównaj licznik do mianownika, wprowadź pomocniczą zmienną \(\displaystyle{ \log x=t}\) i rozwiąż równanie kwadratowe, wróć potem do zmiennej \(\displaystyle{ x}\), znajdź rozwiązania i sprawdź czy należą do dziedziny.

b) dziedzina: (mianownik ułamka różny od \(\displaystyle{ 0}\), to co pod pierwiastkiem \(\displaystyle{ \ge 0}\)). Przedstaw \(\displaystyle{ 1}\) po prawej jako \(\displaystyle{ \log \left( 10\right)}\) i już możesz porównywać liczby logarytmowane w nawiasach (po prostu skreślasz \(\displaystyle{ \log}\) po obu stronach). Potem przenieś \(\displaystyle{ 1}\) na prawo, i przedstawiasz liczbę z prawej jako potęgę liczby \(\displaystyle{ 3}\). Porównujesz wykładniki potęg, ...

dziedzina

\(\displaystyle{ \begin{cases} x>0 \\ 5-\log x \neq 0 \\ 1+\log x \neq 0 \end{cases}}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} x>0 \\ x \neq 10^{5} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \log x=t}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{5-t} + \frac{2}{1+t} =1}\)

.....................................
.......................................
\(\displaystyle{ t^{2}-5t+6=0}\)

dalej to już wiadomo

-- 7 wrz 2013, o 16:16 --

2.

dziedzina:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+3 \neq 0 \\ \frac{x^{2}-4}{x-3} \ge 0 \end{cases}\Rightarrow x \in (-3; -2\rangle \cup \langle 2; + \infty )}\)

\(\displaystyle{ \log \left( 3 ^{ \sqrt{ \frac{x ^{2}-4 }{x+3} } }+1 \right) =1}\)

\(\displaystyle{ \log \left( 3 ^{ \sqrt{ \frac{x ^{2}-4 }{x+3} } }+1 \right) =\log 10}\)

\(\displaystyle{ 3 ^{ \sqrt{ \frac{x ^{2}-4 }{x+3} } }+1 =10}\)

\(\displaystyle{ 3 ^{ \sqrt{ \frac{x ^{2}-4 }{x+3} } } =3^{2}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{x ^{2}-4 }{x+3} } =2}\)

dalej to już wiadomo

Czy moje wyniki są poprawne?

a)
\(\displaystyle{ x=100 \cup x=1000}\)

b)
\(\displaystyle{ x=2+2 \sqrt{5} \cup x=2-2 \sqrt{5}}\)

Dla produktu a) tak.

Kubeush, oba dobrze, ale w zapisie stosuj zamiast sumy zbiorów \(\displaystyle{ \cup}\) znak alternatywy \(\displaystyle{ \vee}\), czyli: \(\displaystyle{ x=100 \vee x=1000}\)

Nie zauważyłem tego znaku w latexie