Matematyka.pl

Dowód, że metryka radialna jest metryką.
Def. metryki radialnej: dla dowolnych \(\displaystyle{ A,B \in \mathbb {R}^n: d(A,B) =\sup _{u\in S^{n-1}} |\varrho _A (u)- \varrho _B (u)|}\), gdzie \(\displaystyle{ S^{n-1}=\{x\in \mathbb {R}^n: ||x||=1\}}\) oraz \(\displaystyle{ \varrho_A(x)= \sup \{ \lambda \ge 0 |\lambda x \in A\}}\).

Jeżeli ktoś może od deski do deski pokazać, że jest to metryka to bardzo proszę. A może ktoś zna jakąś książkę gdzie jest to ładnie opisane to też może być.

Nieujemność i symetria są oczywiste, podobnie jak to, że \(\displaystyle{ d(A,A)=0}\). Pokażemy nierówność trójkąta

\(\displaystyle{ d(A,B) =\sup_{u\in S^{n-1}} |\varrho _A (u)- \varrho _B (u)| =\sup_{u\in S^{n-1}} |\varrho _A (u) - \varrho _C (u)+\varrho _C (u)- \varrho _B (u)| \le \\ \\ \le \sup_{u\in S^{n-1}} \left( |\varrho _A (u) - \varrho _C (u)|+|\varrho _C (u)- \varrho _B (u)| \right) \le \\ \\ \le \sup_{u\in S^{n-1}} \varrho _A (u) - \varrho _C (u)|+ \sup_{u\in S^{n-1}}|\varrho _C (u)- \varrho _B (u)| = d(A,C) +d(C,B)}\)