Matematyka.pl

Warunki na metryki równoważne i czy równoważne zawsze spełniają te warunki?

Ja znam takie, warunki na metryki rownowazne:
Metryki \(\displaystyle{ d_1 , d_2}\) w \(\displaystyle{ X}\) sa rownowazne gdy:

\(\displaystyle{ 1)}\) zadaja te sama topologie

\(\displaystyle{ 2) \forall x \in X \forall \left\{ x_n\right\} \subseteq X}\) zachodzi \(\displaystyle{ d_1(x_n,x) \rightarrow 0 \Leftrightarrow d_2(x_n,x) \rightarrow 0}\)

\(\displaystyle{ 3) \forall x \forall {\epsilon > 0} \exists \delta > 0}\) taka, ze \(\displaystyle{ K_{d_1}(x, \delta) \subset K_{d_2}(x, \epsilon)}\) oraz \(\displaystyle{ K_{d_2}(x, \delta) \subset K_{d_1}(x, \epsilon)}\)

\(\displaystyle{ 4)}\) Metryki sa rownowazne lipschitzowsko gdy \(\displaystyle{ \forall\limits_{x,y\in\mathcal{X}}\ c\,d_1(x,y)\le d_2(x,y)\le C\,d_1(x,y)}\) gdzie \(\displaystyle{ c,C \in \RR}\)

wiem, ze nie kazde metryki rownowazne spelniaja te warunki, ale nie znam zadnego przykladu. Jakie sa przyklady metryk rownowaznych, ktore nie spelniaja tych warunkow?

kameleon99 pisze:Warunki na metryki równoważne i czy równoważne zawsze spełniają te warunki?

[...]

wiem, ze nie kazde metryki spelniaja te warunki, ale nie znam zadnego przykladu. Jakie sa przyklady metryk rownowaznych, ktore nie spelniaja tych warunkow warunkow?

Każde z tych zdań jest wewnętrznie sprzeczne.

Skoro masz metryki równoważne, to muszą spełniać któryś warunek, z wyjątkiem warunku 4.

Dodatkowo wymienione przez Ciebie warunki nie są równoważne - nie wszystkie.

Nie sprecyzowałem, wiem że muszą spełniać, któryś z tych warunków ( w sumie po to one są ). Chodziło mi o to, że 2 metryki sa równoważne, ale nie jest spełniony któryś z tych warunków.
Warunki te wziąłem z

Weź \(\displaystyle{ X=\RR}\) oraz metryki:

\(\displaystyle{ d_1(x,y)=|x-y|\\
\\
d_2(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}}\)

Metryki te dają takie same zbiory otwarte (zachodzi 1.), lecz nie jest spełniony warunek ze stałymi (nie zachodzi 4.)

Możesz się jeszcze zastanowić, które warunki są spełnione, a które nie są.