równania różniczkowe xy''=y' i inne

[marcin77marcin]

Do rozwiązania mam kilka równań które generalnie nie wiem jak ugryźć:

1. \(\displaystyle{ xy''=y'}\) <- to bym przewidywał jako wielomian (np. \(\displaystyle{ y=x^2}\))

2. \(\displaystyle{ y''=1-y^2}\)

Ja mam dzisiaj wybitnie zły dzień i nie mogę się skupić może ktoś mi powie chociaż jak to zacząć.

Mam dużo tych równań do zrobienia ale reszta póki co idzie bez problemów.

[Kartezjusz]

Podstaw \(\displaystyle{ z=y'}\) i wyruguj \(\displaystyle{ z'}\)
b)

[yorgin]

Pierwsze rozwiążesz podstawieniem

\(\displaystyle{ u(x)=y'(x)}\)

a drugie podstawieniem

\(\displaystyle{ u(y)=y'}\)

[marcin77marcin]

Co do b to nie do końca takiego się rozwiązania spodziewałem więc pewnie dalej robię jakiś błąd:

\(\displaystyle{ u=y'}\)
\(\displaystyle{ u'=y''}\)
\(\displaystyle{ \frac{du(y)}{dy} = 1 -y^2}\)

\(\displaystyle{ du(y) = (1-y^2) dy}\)

\(\displaystyle{ u(y) = y' = \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3}y^3 + y + C}\)

dalej \(\displaystyle{ \frac{1}{-\frac{1}{3}y^3+y+C}dy=dx}\)

no ale całkowanie tego raczej jest bezsensowne i zajmuje kupe czasu

[yorgin]

Co do b to nie do końca takiego się rozwiązania spodziewałem więc pewnie dalej robię jakiś błąd:

\(\displaystyle{ u=y'}\)
\(\displaystyle{ u'=y''}\)

Traktujesz to jako podstawienie \(\displaystyle{ u(x)=y'(x)}\), gdy jest to postawienie \(\displaystyle{ u(y)=y'}\). Z lewej strony jest funkcja zmiennej \(\displaystyle{ y}\), z prawej zmiennej \(\displaystyle{ x}\). Ale \(\displaystyle{ y=y(x)}\), więc różniczkując obie strony masz

\(\displaystyle{ y''=\frac{d y'}{dx}=\frac{du}{dx}=\frac{du}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=u'(y)y'=u'u}\)

Nasuwa mi się pytanie, czy jest to poprawnie przepisany przykład? Pytam, gdyż pierwszy pochodzi z książki Krysicki-Włodarski, a drugi też jest, tylko po prawej stronie jest \(\displaystyle{ y'}\) zamiast \(\displaystyle{ y}\) w kwadracie.

[marcin77marcin]

Te zadania ktoś mi podrzucił, mam niezbyt dobry dzień i ciężko mi się myśli a chciałem pomóc mimo wszystko.
Wiem też że w przepisanych zadaniach mogą być błędy bo wyłapałem kilka znacznie bardziej oczywistych.

mam jeszcze jeden typ co do którego nie jestem pewien jak powinienem to ruszyć (mam rozwiązanie tego przykładu ale znowu wychodzi bzdurnie trudna całka).

3)
\(\displaystyle{ y'-y\tg x=\sin ^4x}\)

Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego jest:
\(\displaystyle{ y=-C \cdot \cos x}\)

Ale rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego wychodzi mi dziwne.

[yorgin]

\(\displaystyle{ y'-y\tg x=\sin ^4x}\)

Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego jest:
\(\displaystyle{ y=-C \cdot \cos x}\)

Raczej nie, gdyż rozwiązaniem równania jednorodnego jest

\(\displaystyle{ y(x)=\frac{D}{\cos x}}\).

Ale rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego wychodzi mi dziwne.

Nie wiem, jak je wyznaczasz, ale uzmiennianie stałej zadziała tutaj całkiem dobrze.

[marcin77marcin]

Fakt, sam to zauważyłem problemem był minus który powinien być w potędze a nie przed cosinusem