Matematyka.pl

Na przestrzeni prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ \left( \left[ 0,1\right] ,B\left( \left[ 0,1\right] \right),P \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ P}\) jest rozkładem jednostajnym, określamy ciąg zmiennych losowych
\(\displaystyle{ X _{1}\left( w\right) = \begin{cases} -1, w \in \left[ 0, \frac{1}{2} \right] \\ 1, w \in \left( \frac{1}{2},1\right] \end{cases}}\) , \(\displaystyle{ X _{n}\left( w\right)=-X _{n-1}\left( w\right), n =2,3, ...}\). Określić według jakich rodzajów zbiezności ciąg ten jest zbieżny.

jak zrobić takie zadanie?

Przypuśćmy, że ciąg jest zbieżny w jakikolwiek sposób (prawie na pewno, wg prawdopodobieństwa, wg rozkładu). Jaka zmienna losowa musiałaby być wówczas jego granicą? Mamy tu ewidentnie dwa stałe (a więc zbieżne jak tylko chcemy) podciągi, podczas gdy potencjalna granica musiałaby być jedyna (z dokładnością do zbioru miary zero).

można wyciagnąć taki wniosek : jeżeli ciąg posiada dwa podciągi zbieżne do różnych granic to ten ciąg nie jest zbieżny ?

Tak, i tyczy się to każdego z wymienionych rodzajów zbieżności.

dzięki

mateus_cncc pisze:można wyciagnąć taki wniosek : jeżeli ciąg posiada dwa podciągi zbieżne do różnych granic to ten ciąg nie jest zbieżny ?

thom pisze:Tak, i tyczy się to każdego z wymienionych rodzajów zbieżności.

Dla zbieżności prawie pewnej i według prawdopodobieństwa jest to prawda czyli rzeczywiście według tych zbieżności ciąg z zadania będzie rozbieżny

ale jest on zbieżny według rozkładu!!!

Racja, dziękuję za zwrócenie uwagi Zagalopowałem się trochę; w końcu rozkłady wszystkich \(\displaystyle{ X_n}\) są jednakowe.

W rzeczy samej, rozkłady są takie same. Ponadto ciąg nie jest zbieżny wg p-tego momentu, bo nie jest zbieżny wg prawdopodobieństwa.

Od razu wyjaśnia się dlaczego zbieżność rozkładów nazywamy inaczej słabą zbieżnością

jak mam to udowodnić, że ciąg ten jest zbieżny wg rozkładu?

Wystarczy patrzeć na dystrybuantę \(\displaystyle{ X_n}\), a w tym wypadku na odpowiednie prawdopodobieństwa, czy zbiegają.

nie czaje
\(\displaystyle{ X _{n}}\) gdzie n nieparzyste zbiegają do innego a gdy parzyste to do innego rozkładu

można to trochę bardziej łopatologicznie wytłumaczyć?

Chodzi o to że dystrybuanta jest taka sama dla wszystkich zmiennych, bo rozkład ma masę \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) w \(\displaystyle{ -1}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\).

a nie 1 i -1 w \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)?