Matematyka.pl

Witam. Mam taką treść zadania. Sprawdzając, czy pole jest potencjalne, obliczając potencjał obliczyć całkę krzywoliniową.


\(\displaystyle{ \int_{1,1,1}^{0,2,3} y \cdot z dx + (x \cdot z + z )dy + (xy + y + 2z )dz}\)

Jak sprawdzić,c zy pole jest potencjalne i jak obliczyć potencjał?

Jaki znasz związek rotacji z faktem, że pole jest potencjalne ?

Wiem już jak sprawdzić. A czy wyznaczenie tego potencjału jest równoznaczne z obliczeniem tej całki?

Prawie. Będziemy potrzebować różnicy potencjałów w tych punktach.

Bardzo proszę o zobrazowanie tego. Bo wiem jak calke obliczyc i jak sprawdzić, czy pole ejst potencjalne ale nie wiem jak potencjal wyznaczyc.

liczysz funkcję pierwotną (całkę), potencjały to wartości w punktach (granicach całkowania)

Niestety dalej nie rozumiem. Jak oblicze tą całkę krzywoliniową to co dalej trzeba zrobić, zeby wyznaczyc potencjal?

Rotacja w układzie współrzędnych kartezjańskich

jeżeli rotacja z tego pola wynosi zero, to wystarczy wyliczyć funkcję F i obliczyć różnicę potencjałów w podanych przez Ciebie pkt

ok to już wiem jak, tylko ostatnie pytanie? W jaki sposób się liczy rotacje?
\(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial x}}\) .......\(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial y}}\).................. \(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial z}}\)
\(\displaystyle{ y \cdot z}\).....\(\displaystyle{ x \cdot z+z}\).....\(\displaystyle{ xy+y+2z}\)

infeq pisze:Niestety dalej nie rozumiem. Jak oblicze tą całkę krzywoliniową to co dalej trzeba zrobić, zeby wyznaczyc potencjal?

Obliczenie rotacji, obliczenie potencjału a obliczenie wartości całki to trzy różne rzeczy.

Rotację liczysz ze wzoru - jeśli nie potrafisz podstawić, to ja w tym nie pomogę.

Potencjał liczy się mniej więcej tak - oznaczmy go przez \(\displaystyle{ U}\). Wtedy

\(\displaystyle{ \pfrac{U}{x}=F_x \Rightarrow U(x,y,z)=\int F_x dx}\)

Wyliczona funkcja spełniać musi kolejne równianie, tj

\(\displaystyle{ \pfrac{U}{y}=F_y}\), skąd \(\displaystyle{ U(x,y,z)=\int F_ydy}\). Itd.

Obliczenie całki to skorzystanie ze wzoru

\(\displaystyle{ \int_{AB} Pdx+Qdy+Rdz=U(B)-U(A)}\).