Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a_{0}=3}\), \(\displaystyle{ a _{1} =6}\), \(\displaystyle{ a_{2}=14}\) i \(\displaystyle{ a _{n+3}=6a _{n+2}-11a _{n+1}+6a _{n}}\) dla \(\displaystyle{ n=0,1,2...}\)
Połóżmy:
\(\displaystyle{ S(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }a _{n}x ^{n}}\)
a) Wykazać, że szereg \(\displaystyle{ S(x)}\) ma promień zbieżności \(\displaystyle{ R>0}\), a funkcja \(\displaystyle{ S(x)(1-x)(1-2x)(1-3x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in (-R,R)}\), jest pewnym trójmianem kwadratowym. Wyznaczyć współczynniki tego trójmianu.
b) Podać jawny wzór na wyrazy ciągu \(\displaystyle{ a _{n}}\) i wyznaczyć \(\displaystyle{ R}\).
c) Czy całka \(\displaystyle{ \int_{0}^{1/3}S(x)dx}\) jest zbieżna?

Proszę o pomoc przy tym zadaniu.

Spróbuj indukcyjnie pokazać np. że \(\displaystyle{ \left| a_n\right| <23^n}\)- to jest bardzo brutalne oszacowanie i rje możesz z nierówności trójkąta.
Stąd dostaniesz , z definicji promienia zbieżności , że \(\displaystyle{ \frac{1}{R} <23}\), czyli promień dodatni.
Dalszą część podpunktu a) możesz przeprowadzić ,tak jak jest w dowód na wyrazy ciągu Fibonacciego .
Jak zrobisz punkt a) to reszta idzie łatwo , bo wystarczy z całkować \(\displaystyle{ S(x)}\) i skorzystać z rozwinięcia w szereg odpowiedniej funkcji a w c) odpowiedź będziesz miał z rozkładu na ułamki proste, który wykonasz w b)

Nie wiem jak zrobić podpunkt a) bez zrobienie najpierw b)
Rozwiąż równanie charakterystyczne \(\displaystyle{ r^3=6r^2-11r+6}\).

Wyliczyłem, że:
\(\displaystyle{ a_{n}=1+ 2^{n-1}+ 3^{n-1}}\)

Z warunku \(\displaystyle{ R= \frac{1}{ \lim_{ x\to \infty } \left| \frac{a _{n+1} }{a _{n} } \right| }}\) obliczam, że \(\displaystyle{ R= \frac{1}{3}}\)

Czy do tej pory jest wszystko ok? Jeśli tak to dalej z podpunktem a) już jest łatwo.
A co teraz z podpunktem c) ?
Czy wystarczy, że zbadam zbieżność szeregu w \(\displaystyle{ R= \frac{1}{3}}\)? Sporo zapomniałem przez wakacje...