wartość oczekiwana zmiennej losowej

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
mateus_cncc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 430
Rejestracja: 6 lip 2011, o 22:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dębica/Rzeszów
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 54 razy

wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: mateus_cncc » 1 wrz 2013, o 18:49

Mam zmienna losową o dystrubuancie


\(\displaystyle{ F\left( x\right) = \begin{cases} 0 gdy x \le 1 \\ \frac{1}{8} x ^{2} poza \\ 1 gdy x>2 \end{cases}}\)

Mam znaleźć wartość oczekiwną, wariancję oraz \(\displaystyle{ P\left[ 1<X \le 2\right]}\)

Narazie licze wartość oczekiwaną. Wychodzi mi całka niewłaściwa, a jej wartośc to nieskończoność. i to oznacza, że wartość oczekiwana nie istnieje?

Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1566
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: Adifek » 1 wrz 2013, o 19:29

Pokaż jak liczysz. Wartość oczekiwana istnieje, więc to w rachunkach jest błąd

mateus_cncc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 430
Rejestracja: 6 lip 2011, o 22:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dębica/Rzeszów
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 54 razy

wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: mateus_cncc » 1 wrz 2013, o 19:33

\(\displaystyle{ EX= \int_{- \infty }^{+ \infty } x \cdot f\left( x\right)dx= \int_{- \infty }^{1 } x \cdot 0dx +\int_{1}^{2 } x \cdot \frac{1}{8}x ^{2} dx + \int_{2 }^{+ \infty } x \cdot 1 dx= 0 + \frac{1}{8} \int_{1}^{2}x ^{3} + \frac{1}{2} \lim_{ k\to+ \infty } x ^{2} || od 2 do k ||= + \infty}\)

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: pyzol » 1 wrz 2013, o 19:38

Masz podaną dystrybuantę a nie gęstość.
Tutaj masz problem, bo jest mieszanka rozkładu dyskretnego z ciągłym.
Ogólnie też masz ciągłość z innej strony, co mi nie na rękę.
\(\displaystyle{ P(X=1)=\frac{1}{8}, P(X=2)=\frac{1}{2}}\)

mateus_cncc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 430
Rejestracja: 6 lip 2011, o 22:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dębica/Rzeszów
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 54 razy

wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: mateus_cncc » 1 wrz 2013, o 19:46

najpierw mam obliczyć gęstość?

Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1566
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: Adifek » 1 wrz 2013, o 20:17

Tak. Dodatkowo są jeszcze dwa atomy, tak jak napisał pyzol.

mateus_cncc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 430
Rejestracja: 6 lip 2011, o 22:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dębica/Rzeszów
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 54 razy

wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: mateus_cncc » 1 wrz 2013, o 20:25

co mam zrobic z tymi "atomami" ? co to wogóle te atomy ? te miejsca gdzie dystrybuanta nie jest ciągła?

a gęstość liczę tak, że obliczam pochodną dystrybuanty po każdym przedziale?

Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1566
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: Adifek » 1 wrz 2013, o 20:40

Dokładnie tak, jak mówisz.

mateus_cncc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 430
Rejestracja: 6 lip 2011, o 22:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dębica/Rzeszów
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 54 razy

wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: mateus_cncc » 1 wrz 2013, o 20:46

no to tak zrobiłem to potem mi nie wychodzi calka z gestości 1

Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1566
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: Adifek » 1 wrz 2013, o 20:53

I nie może wyjść, nie jest to bowiem gęstość w ścisłym tego słowa znaczeniu. Rozkład nie jest bowiem ani absolutnie ciągły ani też dyskretny. Stąd całka z "gęstości" całkuje się do mniej niż jedynki, podobnie z reszta jak atomy. Dopiero po zsumowaniu tych dwóch wartości otrzymasz 1.

mateus_cncc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 430
Rejestracja: 6 lip 2011, o 22:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dębica/Rzeszów
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 54 razy

wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: mateus_cncc » 1 wrz 2013, o 20:56

to jak zapisać tą gęstość ?

wystarczy podnieść \(\displaystyle{ \frac{1}{4} x}\) o \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\) do góry ?

Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1566
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: Adifek » 1 wrz 2013, o 21:03

To ja to może rozpiszę w całości, bo chyba nie jestem w stanie Ci tego wytłumaczyć bez przykładu.

\(\displaystyle{ f(x) = F'(x) = \begin{cases} \frac{x}{4}, \quad x\in (1,2] \\ 0, \quad poza \ tym \end{cases}}\).

Ponadto mamy dwa atomy w \(\displaystyle{ x=1}\) oraz \(\displaystyle{ x=2}\) o wartościach odpowiednio \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

Stąd:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X = \int_{1}^{2}xf(x)dx + 1\cdot \frac{1}{8} + 2 \cdot \frac{1}{2}}\)

mateus_cncc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 430
Rejestracja: 6 lip 2011, o 22:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dębica/Rzeszów
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 54 razy

wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: mateus_cncc » 1 wrz 2013, o 21:08

czy to liczyles z całki stieltjesa?

Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1566
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: Adifek » 1 wrz 2013, o 21:10

No z formalnego punktu widzenia to niby tak, bo

\(\displaystyle{ \int_{1}^{2}xf(x)dx = \int_{1}^{2}xdF(x)}\).

mateus_cncc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 430
Rejestracja: 6 lip 2011, o 22:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dębica/Rzeszów
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 54 razy

wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: mateus_cncc » 1 wrz 2013, o 21:12

no ale mam pytanie jak sprawdzamy czy funkcja jest gęstością (czyli całka ma być równa zero) to wtedy jak będzie właśnie to liczenie wyglądać w tym przypadku?

ODPOWIEDZ