Matematyka.pl

Witam!
Prosiłbym o pomoc w zadaniu \(\displaystyle{ 48}\) ze zbioru W.Pompe:


Punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) są odpowiednio środkami boków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) czworokąta wypukłego \(\displaystyle{ ABCD}\). Odcinki \(\displaystyle{ AN}\)$ i \(\displaystyle{ DM}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\), odcinki \(\displaystyle{ BN}\) i \(\displaystyle{ CM}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ Q}\). Wykazać, że suma pól trójkątów \(\displaystyle{ ADP}\) i \(\displaystyle{ BCQ}\) jest równa polu czworokąta \(\displaystyle{ MP NQ}\).

Nie mam pomysłu jak wykorzystać pola \(\displaystyle{ ADP}\) i \(\displaystyle{ BCQ}\).
Z góry dziękuję

Witam!
\(\displaystyle{ [BQC]=[MBC]-[MQB]}\) i \(\displaystyle{ [ADP]=[ADM]-[APM]}\). Ponieważ \(\displaystyle{ N}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ DC}\), to oznaczając przez \(\displaystyle{ X'}\) spodek wysokości punktu \(\displaystyle{ X}\) opuszczonej na prostą \(\displaystyle{ AB}\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ \frac{CC'+DD'}{2}=NN'}\). Czyli \(\displaystyle{ [ADP]+[BQC]=[ADM]-[AMP]+[MBC]-[MQB]=[ANB]-[APM]-[MQB]=[PMQN]}\).