Matematyka.pl

Witam, jako że studia skończyłem dość dawno i trudno mi jest zweryfikować poprawność rozwiązywanych zadań z matematyki (bardziej sugeruje się rozwiązaniem niż wiedzą), zwracam się do użytkowników forum z prośbą o rozwiązanie takich całek:

k=10
n=3

1. Sprawdź czy istnieją następujące całki oznaczone a jeśli istnieją to podaj ich wartość:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \sqrt[k]{ \frac{1}{ x^{n} } }dx}\)

\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty} \sqrt[k]{ \frac{1}{ x^{n} } }dx}\)

2. Oblicz następującą całkę oznaczoną za pomocą podstawiania zmiennej pomocniczej za funkcja znajdująca się pod pierwiastkiem:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{n} \frac{2(x-n)}{ \sqrt{(x-n)^{2}+ n^{2} } } dx}\)

3. Oblicz następującą całkę oznaczoną, metodą przez części:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi/n} n \cdot x \cdot sin(n \cdot x)dx}\)

Z góry dziękuje.

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} { \frac{1}{ x^{\frac{n}{k}} } }dx =
\int_{0}^{1} { x^{-\frac{n}{k}} }dx =
\frac{x^{-\frac{n}{k}+1}}{-\frac{n}{k}+1}|_0^1=
\frac{x^{0.7}}{0.3}|_0^1=
\frac{1}{0.3}\\
\int_{0}^{ \infty } { \frac{1}{ x^{\frac{n}{k}} } }dx =
\frac{x^{0.7}}{0.3}|_0^ \infty = \infty}\)

2)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{n} \frac{2(x-n)}{ \sqrt{(x-n)^{2}+ n^{2} } } dx = \begin{cases} t = (x-n)^{2} + n^2\\ dt = 2(x-n) dx \\
x = n \rightarrow t=n^2\\
x = 0 \rightarrow t=2n^2 \end{cases}\\ =
\int_{n^2}^{2n^2} \frac{dt}{ \sqrt{t } } dt}\)
to już z tablic

3) liczysz przez części różniczkując x, a reszte całkujesz

Zadanie 2

\(\displaystyle{ \int_{0}^{3} \frac{2(x-3)}{ \sqrt{(x-3)^{2}+ 9 } } dx=\begin{vmatrix} (x-3)^2+9=t \\ 2(x-3) dx=dt \\ x=0, t=18 \\ x=3, t= 9 \end{vmatrix}= -\int_{9}^{18} \frac{1}{\sqrt{t}} dt= -\int_{9}^{18} t^{-\frac{1}{2}} dt=-2 t ^{\frac{1}{2}}\left. \right |_9^{18}=-2(\sqrt{18}-\sqrt{9})=-2(3\sqrt{2}-3)=6-6\sqrt{2}}\)