Matematyka.pl

W jaki sposób obliczyć homologię przestrzeni rzutowej \(\displaystyle{ \mathbb{RP}^n}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\)?

Tutaj masz to policzone:
... tive_space

Szkicowo, aby wyznaczyć dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) homologię przestrzeni rzutowej, potrzebujemy znać homologię przestrzeni rzutowej \(\displaystyle{ \mathbb{RP}^{n-1}}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{S}^{n-1}}\).
Dla przykładu, w \(\displaystyle{ n=3}\) robi się to tak:
\(\displaystyle{ X = \mathbb{RP}^3}\), \(\displaystyle{ V = \mathbb{RP}^3 \setminus \{ * \} \approx \mathbb{RP}^2}\).
Z tego co pamiętam, konstruuje się potem ciąg Mayera-Vietorisa, otrzymując na końcu ciąg dokładny:
\(\displaystyle{ 0 \rightarrow H_3 (X, \mathbb{Z}) \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow 0}\),
a następnie takie:
\(\displaystyle{ 0 \rightarrow H_2 (X, \mathbb{Z}) \rightarrow 0}\)
oraz
\(\displaystyle{ 0 \rightarrow \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} \rightarrow H_1 (X, \mathbb{Z}) \rightarrow 0}\).
Stąd odczytujemy wzory z linku który podałem.
Rozumowanie indukcyjne załatwi sprawę.
Zajrzyj też tutaj, aby uzupełnić szczegóły, których nie pamiętam:
... r-vietoris