Matematyka.pl

Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład o dystrybuancie \(\displaystyle{ F(x)=\begin{cases}\frac{1}{6}x+ \frac{1}{4}\ &\mbox{dla}\ x\in(0,3\rangle \\ 1\ &\mbox{dla}\ x>3\end{cases}}\).
Oblicz \(\displaystyle{ P(X+Y \ge 1)}\).

\(\displaystyle{ Z=X+Y}\) więc chcesz policzyć \(\displaystyle{ 1-P(Z \leq 1)=1-F_z(1)}\).

\(\displaystyle{ F_z(1)=\int_{X+Y \leq 1} f_{x,y}(x,y)}\). Czyli musisz wyznaczyć gęstość zmiennej x i y. Następnie gęstość łączną - zmienne są niezależne, więc będzie to iloczyn gęstości i podstawić do całki. Następnie zastosować jakąś zamianę zmiennych, np.
\(\displaystyle{ x+y=u}\)
\(\displaystyle{ y=v}\)

i tylko policzyć całkę.

Nie tyle iloczyn gęstości, co splot gęstości, bo to nie jest zmienna losowa (X,Y), tylko X+Y.