Matematyka.pl

Czy dla ciagu \(\displaystyle{ (x_n)}\) elementow \(\displaystyle{ \RR^2}\) prawdziwe sa implikacje:

a) \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest zbiezny w metryce euklidesowej \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest zbiezny w metryce dyskretnej
b) \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest zbiezny w metryce dyskretnej \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest zbiezny w metryce euklidesowej
c) \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest zbiezny w metryce euklidesowej \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest zbiezny w metryce maksimum
d) \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest zbiezny w metryce maksimum \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest zbiezny w metryce euklidesowej
e) \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest zbiezny (w pewnej metryce) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ (x_n)}\) ma conamniej jeden punkt skupienia (w tej samej metryce)
f) \(\displaystyle{ (x_n)}\) ma conamniej jeden punkt skupienia (w pewnej metryce) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest zbiezny (w tej samej metryce)

Wydaje mi sie, ze takie powinny byc odpowiedzi, prosilbym ponownie o sprawdzenie

a) nie
b) tak
c) tak
d) tak
e) tak
f) nie

Wszystkie odpowiedzi są poprawne. Ciekaw jestem jak uzasadnisz c), d). Nie chodzi mi o rachunki. Podaj argument, na który się powołujesz.

Wydaje mi sie, ze jest tak dlatego, ze metryki te generuja rownowazne topologie

Właśnie tak jest.

dziekuje za sprawdzenie