Matematyka.pl

Witajcie, mam kilka pytań co do moich zadań.
Mam taką nierówność

\(\displaystyle{ \left| x^{3}-x \right| \le 3x}\)

No więc zapisuje to bez modułu, wychodzi mi że
\(\displaystyle{ x\left(x^{2}-4 \right) \le 0}\)
czyli
\(\displaystyle{ x=0 \wedge x=2 \vee x=-2}\)

Żeby nie przedłużać, z pierwszego przedziału gdzie \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ;-2\right) \cup \left( 0;2\right)}\) wychodzi mi \(\displaystyle{ x \in \left( 0;2\right)}\) a z przedziału \(\displaystyle{ x \in \left\langle -2;0\right\rangle \cup \left\langle 2;+ \infty \right\rangle}\) wychodzi mi że \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0;2\right\rangle}\)

No i gdzieś jest błąd (mogę dać obliczenia jak ktoś będzie chciał). W odpowiedziach mam \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0;2\right\rangle}\) a jak wiadomo część wspólna tych przedziałów to \(\displaystyle{ x \in \left( 0;2\right)}\)

Drugi przykład
\(\displaystyle{ \left| x^{3}-3x\right| \ge 2}\)
No właśnie, tu zeruje się dla -1, tylko że nie mam pojęcia czemu Hornerem wychodzi mi reszta 2.

@edit
Zmieniłem nazwę tematu bo z pośpiechu źle wpisałem

\(\displaystyle{ x\left(x^{2}-4 \right) \le 0}\)

A nie powinno być \(\displaystyle{ x(x-1)(x+1) \ge 0}\)?
Co da, że "minus wstawiamy" dla \(\displaystyle{ x\in(-\infty;-1) \cup (0;1)}\)?

Nierówność \(\displaystyle{ |x^3-x|\le 3x}\) nie zawsze przybiera postać \(\displaystyle{ x^3-4x\le 0}\). Tak jest tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x^3-x\ge 0}\). W przeciwnym przypadku mamy następującą postać \(\displaystyle{ x^3+2x\ge 0}\).

Proponuję jednak pogłówkować nieco na początku, przed przystąpieniem do liczenia. Wiemy przecież, że wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze liczbą nieujemną. Zatem aby nierówność miała sens, liczba \(\displaystyle{ 3x}\), jako nie mniejsza niż \(\displaystyle{ |x^3-x|}\), też musi mieć wartość nieujemną. To oznacza, że na pewno jest \(\displaystyle{ x\ge 0}\) i do takiego przypadku, już na wstępie, możemy się ograniczyć.
Mamy zatem \(\displaystyle{ |x^3-x|=|x(x-1)(x+1)|=x(x+1)|x-1|}\). Wystarczy teraz rozważyć nierówność \(\displaystyle{ x(x+1)|x-1|\le 3x}\) w przedziałach \(\displaystyle{ \langle 0,1), \langle 1,+\infty)}\).

pyzol, autor pytania miał zapewne na myśli pozbycie się już na początku symbolu wartości bezwzględnej (niestety bez dodatkowych niezbędnych założeń).

A czemu w ten sposób?
Może napiszę jak ja to zrobiłem:
\(\displaystyle{ x^{3}-x \le 3x}\)
\(\displaystyle{ x^{3}-4x \le 0}\)
\(\displaystyle{ x\left( x^{2}-4\right) \le 0}\)

Coś jest tu źle?

Aaa, no racja, zapomniałem o założeniach, teraz już wszystko jasne, dziękuje ślicznie.

Zauważ, że \(\displaystyle{ |a|=a}\) tylko dla \(\displaystyle{ a\ge 0}\), dla \(\displaystyle{ a<0}\) jest natomiast \(\displaystyle{ |a|=-a}\).

A można by zrobić tak jak pamiętam że robiłem z funkcją kwadratową, czyli sprawdzić kiedy moduł jest większy lub równy zeru, i na podstawie tego zrobić miejsca zerowe i przecięcia na wykresie?
Mam na myśli \(\displaystyle{ x^{3}-x \ge 0}\)
\(\displaystyle{ x\left( x^{2}-1\right) \ge 0}\)
Zrobić na wykresie miejsca zerowe 1, -1 i 0 i do tych miejsc robić przedziały?

Oczywiście, że tak, tylko ostrożnie. W zbiorze rozwiązań nierówności \(\displaystyle{ x^3-x\ge 0}\) wyjściowa nierówność przybiera postać \(\displaystyle{ x^3-x\le 3x}\). Bierzemy zatem część wspólną zbiorów rozwiązań obu nierówności i mamy w ten sposób częściowe rozwiązanie (z jednego przypadku).
Podobnie w zbiorze rozwiązań nierówności \(\displaystyle{ x^3-x<0}\) trzeba rozważyć nierówność \(\displaystyle{ x^3-x\ge -3x}\). I też bierzemy część wspólną.
Na koniec sumujemy otrzymane zbiory.

Metoda poprawna, acz nieco karkołomna.

Wiesz, może i karkołomna, ale jeżeli przez 2 lata tak mnie uczą, to jest mi jednak wygodniej

Będę po prostu robił to co pod modułem większe lub równe zero, potem 2 przedziały, tam gdzie dodatnie to moduł bez zmian, tam gdzie ujemne zmieniamy znaki i opuszczamy moduł.

Jeszcze jedno pytanie.
Kiedy nie można robić że moduł z \(\displaystyle{ x > y}\) i/lub moduł z \(\displaystyle{ x < -y}\)? Wydaje mi się, że wtedy gdy \(\displaystyle{ x}\) jest gdziekolwiek indziej poza modułem, mam rację?

Tak (ale jak zwykle są wyjątki).

Hmm.. a jakie? Bo szczerze mówiąc to teraz mam już mętlik w głowie :/

To zostaw tak jak czaisz - nie szukaj wyjątków - z definicji jak nie ma x-sa poza kreskami; przedziałami jak jest.