Matematyka.pl

Funkcja \(\displaystyle{ y(t)}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ t ^{2} \frac{d ^{2}y }{dt ^{2} } +t \frac{dy}{dt}+y=0}\). Rozwiązaniem jakiego równania będzie funkcja \(\displaystyle{ y ^{*} (u)=y(e ^{u} )}\)

Liniowe jednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach

jako, ze jestem srednio obeznany w RR, chodzi o to abym obliczyl delte, a nastepnie te pierwiastki?
i otrzymuje cos takiego:
\(\displaystyle{ C _{1}\cos \sqrt{3}t +C _{2}\sin \sqrt{3}t}\)

Po zamianie zmiennych \(\displaystyle{ t=e^{u}}\) dostajesz
równanie liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach

\(\displaystyle{ t ^{2} \frac{d ^{2}y }{dt ^{2} } +t \frac{dy}{dt}+y=0\\
t=e^{u}\\
\frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}u}=e^{u}\\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}t} =e^{-u} \\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t}= \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}u} \cdot \frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}t}\\
t\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t}= \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}u}\\
\frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}t^2}= \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}u}\left(\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}u}e^{-u} \right) \cdot \frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}t} \\
\frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}t^2}=\left( \frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}u^2}e^{-u}-e^{-u} \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}u} \right)e^{-u}\\
\frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}t^2}=\left( \frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}u^2}- \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}u} \right)e^{-2u}\\
t^2\frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}t^2}=\left( \frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}u^2}- \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}u} \right)\\
\frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}u^2}- \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}u}+\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}u}+y=0\\
\frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}u^2}+y=0\\}\)