Matematyka.pl

mam pytanie, jak obliczyć granicę następujących ciągów ?

a) \(\displaystyle{ a_{n}= \left( \frac{n+5}{n+2} \right) ^n}\)
b) \(\displaystyle{ a_{n}= \sqrt[3]{n} \left( \sqrt[3]{n^2} \left( n-1 \right) \right)}\)

w pierwszym przykładzie skorzystaj z tego, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e}\) jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}a_n= \infty}\)

b)

\(\displaystyle{ a_{n}= \sqrt[3]{n}\left( n \sqrt[3]{n^2} - \sqrt[3]{n^2} \right)=n^2-n}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( n^2-n \right)= \lim_{n \to \infty } n^2\left( 1- \frac{1}{n} \right)= \infty \cdot 1= \infty}\)

a jeszcze takie pytanie z szeregów...

w przykladzie \(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=1} \frac{ 3^{n}n! }{ n^{n} }}\) dochodzę do momentu:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{3}{(1+ \frac{1}{n} )^n}}\) i nie wiem co dalej z tym zrobic

mam jeszcze problem z:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \cos \frac{n \pi }{4}}\)
jak ten przykład w ogóle zacząć?