Matematyka.pl

Zmienna losowa (x,y) podlega rozkładowi gęstości
\(\displaystyle{ f(x,y) = \frac{1}{9} xy \ dla \ 1\ge \ x \ \ge2,\ 2\ge \ y \ \ge4

\underline 0 dla pozostałych (x,y)}\)

Należy policzyć wartości oczekiwane rozkładów brzegowych. Proszę o pomoc.

całkujesz po tej zmiennej, której chcesz się pozbyć, innymi słowy jeżeli liczysz wartości brzegowe dla y, to całkujemy po x

To chyba będzie:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X= \int_{-\infty}^{ \infty } \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x,y) dxdy = \int_{1}^{2}x \cdot \frac{1}{9} \cdot x \left( \int_{2}^{4}ydy\right) dx = \frac{1}{9} \int_{1}^{2}x^2 \cdot \left( \frac{4^2}{2} - \frac{2^2}{2}\right)dx = \frac{14}{9}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y= \int_{-\infty}^{ \infty } \int_{-\infty}^{\infty} y \cdot f(x,y) dxdy = \int_{1}^{2} \frac{1}{9}x \left( \int_{2}^{4}y^2 dy\right) dx = \frac{1}{9} \int_{1}^{2} x \cdot \left( \frac{4^3-2^3}{3}\right) dx = \frac{56}{27} \int_{1}^{2} xdx = \frac{28}{9}}\)

Oj chyba nie do końca

bartek118 pisze:Oj chyba nie do końca

Co masz na myśli?
Oczwywiście dla dowolnej funkcji mierzalnej \(\displaystyle{ \phi(X,Y)}\) zachodzi \(\displaystyle{ E\phi(X,Y)=\int \phi(x,y)f(x,y)dxdy}\). W tym wypadku \(\displaystyle{ \phi(X,Y)=X}\).

robertm19 pisze:

bartek118 pisze:Oj chyba nie do końca

Co masz na myśli?
Oczwywiście dla dowolnej funkcji mierzalnej \(\displaystyle{ \phi(X,Y)}\) zachodzi \(\displaystyle{ E\phi(X,Y)=\int \phi(x,y)f(x,y)dxdy}\). W tym wypadku \(\displaystyle{ \phi(X,Y)=X}\).

Dobra, ok, masz rację Pomyliło mi się jak tak patrzyłem na te całki

Może chodziło o to, że zgubiłam w zapisie f-cję charakterystyczną tego zbioru \(\displaystyle{ \left\{ (x,y): 1 \le x \le 2, 2 \le y \le 4\right\}}\)