Matematyka.pl

Wyznaczyć \(\displaystyle{ a,b \in R}\) żeby funkcja była klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\) (ciągła i różniczkowalna)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a x^{2}+ x-b ,x \le 1\\ \ln (x)\arctan (x)+1, x>1\end{cases}}\)

Wie ktoś może jak zrobić to zadanie?

Sa dwa parametry, wiec sama rozniczkowalnocia sie problemu zepchnac nie da.

Najpierw ciaglosc

\(\displaystyle{ f(1)=a+1-b}\)
Granica musi byc rowna wartosci funkcji, czyli
\(\displaystyle{ a+1-b=\lim_{x\to 1^-}(\ln x\cdot\arctan x+1)=1}\)

Stad mamy \(\displaystyle{ a=b}\)

Teraz rozniczkowalnosc.
\(\displaystyle{ f_+'(1)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{\ln(1+h)\cdot\arctan(1+h)+1-1}{h}=\frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ f_-'(1)=2a+1}\)

Dostajemy

\(\displaystyle{ a=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{2}}\)

I pochodna \(\displaystyle{ f}\)jest ciagla w \(\displaystyle{ x=1}\), czyli dla obliczonych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) funkcja jest klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^1(\mathbb R)}\)