Matematyka.pl

Jak udowodnić, że w czworokątach dwuśrodkowych zawsze:

1. Są przekątne prostopadłe.
2. Odległość środków okręgów jest równa odległości środka mniejszego od miejsca przecięcia przekątnych.

A co to są czworokąty dwuśrodkowe i o jakich okręgach mówi podpunkt 2b.?

Czworokąty dwuśrodkowe to takie czworokąty, na których można opisać i można w nie wpisać okrąg.



Mam nadzieję, że dobrze wyjaśniłem zadanie... dobrze?

Pierwsze słyszę!

& ... 0085,d.Yms
W dziale matematyki.
To z Młodego Technika. Tam jest część. Potem trzeba udowodnić te dwie rzeczy .

a) Skoro da się w niego wpisać okrąg to sumy długości przeciwległych boków są sobie równe. Zatem sumy długości pewnych łuków okręgu opisanego są równe i po prostych rachunkach na kątach dostajemy prostopadłość przekątnych.

Hmm... Mógłbyś bliżej?

Ale wiesz, że przekątne nie muszą się przecinać w środku okręgu?

Ale wiesz, że przekątne nie muszą się przecinać w środku okręgu?

Wiem, nigdzie z tego nie nie korzystam.
Spróbuj zrobić podobne zadanie:
Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest wpisany w okrąg. Punkt \(\displaystyle{ K}\) jest środkiem tego łuku \(\displaystyle{ AB}\) który nie zawiera punktów \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\). Punkty \(\displaystyle{ M,L,N}\) definiujemy analogicznie. Teza jest taka że proste \(\displaystyle{ KL}\) i \(\displaystyle{ MN}\) są prostopadłe.
Dowód jako ćwiczenie na kątach.
Idea dowodu naszego zadania jest bardzo podobna. Gdybyś nie do końca zrozumiał o co mi chodzi pisz, postaram się wytłumaczyć jaśniej. Ale najpierw zrób "moje" zadanie, może się przydać.

Narysowałem sobie rysunek. Wszystko oznaczyłem, narysowałem symetralne każdego z boków.
Teraz suma przeciwległych kątów czworokąta wpisanego jest równa 180 stopni.

Gdzie dalej się uczepić?

GluEEE, Kąty wpisane na okręgu. Zauważ, że łuki \(\displaystyle{ KM}\) oraz \(\displaystyle{ LN}\) mają razem długość równą połowie okręgu. Zatem suma kątów wpisanych opartych na tych łukach daje razem kąt wpisany oparty na średnicy. Zatem:
\(\displaystyle{ \angle KNM + \angle LKN=90}\)
A stąd \(\displaystyle{ KL \perp MN}\)
Zauważ że w Twoim zadaniu dzięki założeniu że można w ten czworokąt wpisać okrąg jest bardzo podobnie z łukami i można się pobawić tymi kątami wpisanymi.

Okej, ale skąd wiesz, że te łuki mają długość równą połowie okręgu?

Bo razem mają (mówię o łukach):
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( AB+BC+CD+DA\right)}\) no a to widać że jet połowa całego okręgu.
Polecam pokolorować sobie łuki równej długości, bardzo ułatwia to sprawę. W ogóle kredki są bardzo przydatne w geometrii a szczególnie na OMie.

Dziękuję .
Teraz mamy dowód, że KL jest prostopadłe do MN. A jak udowodnić prostopadłość przekątnych? Po prostu obrócić o pewien kąt? Można tak?

Nie. Wykorzystaj to że łuki AB i CD sumują się wtedy do średnicy.

Jak mogą się sumować do średnicy? :O?

Te punkty K,M,N,L oznaczać wg. alfabetu? Bo tak patrzę i nie może być wg. alfabetu .