Matematyka.pl

W szescian o krawedzi A wpisano kule,w te kule wpisano szescian,w szescian znow kule itd. do nieskonczonosci .Oblicz granice do ktorej dazy suma pol powierzchni wszystkich szescianow i kul.

Niech:
\(\displaystyle{ P_{n}}\) oznacza sumę pól powieszchni n-tego sześcianu i n-tej kuli, a \(\displaystyle{ a_{n}}\) długość krawędzi n-tego sześcianu. Mamy:
\(\displaystyle{ a_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot a_{n} = \frac{A}{\sqrt{2}^{n}}}\)
\(\displaystyle{ P_{n} = 6\cdot a_{n}^{2} + 4\pi\cdot \left(\frac{a_{n}}{2}\right)^{2} = (6 + \pi)a_{n}^{2} = (6 + \pi)\cdot \frac{A^{2}}{2^{n - 1}}\\
\sum_{n = 1}^{\infty}P_{n} = \frac{(6 + \pi)A^{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \tfrac{2}{3}\cdot A^{2}\cdot (6 + \pi)}\)