Matematyka.pl

Jakie są kresy zbioru?
\(\displaystyle{ A= \left\{ \frac{3m+ 2n^{2} }{2mn} : m,n\in \mathbb{N} \right\}}\)
Rozkładam to sobie na \(\displaystyle{ \frac{3}{2n} + \frac{n}{m}}\) i widzę, że \(\displaystyle{ \sup A= \infty \left( n= \infty , m=1\right)}\)
Jak natomiast wyznaczyć kres dolny?

Zauważ, że gdy \(\displaystyle{ x\in A}\) to \(\displaystyle{ x>0}\) oraz weź takie ciągi liczb naturalnych \(\displaystyle{ n=k}\) oraz \(\displaystyle{ m=k^2}\) wtedy masz \(\displaystyle{ \frac{3}{2k} + \frac{1}{k}}\), więc kresem dolnym musi być \(\displaystyle{ 0}\).

Dzięki bardzo. A co z podobnym przykładem \(\displaystyle{ B= \left\{ \frac{3m^{2} + 2n^{2} }{2mn} : m,n\in \mathbb{N} \right\}}\) ?
Wtedy mamy już \(\displaystyle{ \frac{3m}{2n} + \frac{n}{m}}\) i sytuacja trochę się zmienia. \(\displaystyle{ \inf A}\) będzie wtedy dla \(\displaystyle{ n=1, m=1}\) ? Jak do tego podejść?

Skorzystaj z klasycznej nierówności

\(\displaystyle{ 2xy\leq x^2+y^2}\)

Oznaczmy \(\displaystyle{ q=\frac{m}{n}}\) wówczas mamy do zbadania \(\displaystyle{ infimum}\) wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{3}{2} q +\frac{1}{q}}\) gdzie \(\displaystyle{ q}\) przebiega liczby wymierne dodatnie. Łatwo widać, że \(\displaystyle{ \frac{3}{2} v +\frac{1}{v} \ge \sqrt{6} .}\) Przy czym równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ v=\sqrt{\frac{2}{3}} .}\) Z uwagi na ciągłość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{3}{2} v +\frac{1}{v}}\) względem zmiennej rzeczywistej \(\displaystyle{ v}\) oraz na to, że liczbę \(\displaystyle{ v=\sqrt{\frac{2}{3}}}\) możemy z dowolną dokładnością przybliżać liczbami wymiernymi dodatnimi wynika, że \(\displaystyle{ \inf B =\sqrt{6} .}\)