Matematyka.pl

Witam, chciałbym aby ktoś sprawdził moje rozwiązanie, bo nie jestem do niego przekonany.
Trzeba sprawdzić ilość rozwiązań układu w zależności od parametru a.

\(\displaystyle{ \begin{cases} ax+y-z=0 \\ x+ay+z=1 \\ ax-y+az=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ W=\left|\begin{array}{ccc}a&1&-1\\1&a&1\\a&-1&a\end{array}\right|=a^{3} +a^{2}+a+1}\)
\(\displaystyle{ W_x=\left|\begin{array}{ccc}0&1&-1\\1&a&1\\0&-1&a\end{array}\right|=1-a}\)
\(\displaystyle{ W_y=\left|\begin{array}{ccc}a&0&-1\\1&1&1\\a&0&a\end{array}\right|=2a}\)
\(\displaystyle{ W_z=\left|\begin{array}{ccc}a&1&0\\1&a&1\\a&-1&0\end{array}\right|=2a}\)

\(\displaystyle{ x=\frac{detW_x}{W}= \frac{1-a}{a^{3} +a^{2}+a+1}}\)
\(\displaystyle{ y=z=\frac{detW_y}{W}= \frac{2a}{a^{3} +a^{2}+a+1}}\)

i czy z tego mogę wnioskować, że:
I dla \(\displaystyle{ a =0}\) jest dokładnie 1 rozwiązanie
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1 \\y=0 \\z=0\end{cases}}\)
II dla \(\displaystyle{ a \neq 0}\) jest nieskończenie wiele rozwiązań ?

Według mnie dobrze rozumujesz.
Ale musisz uwzględnić jeszcze kiedy \(\displaystyle{ W=0}\)
(\(\displaystyle{ a=-1}\)) Wtedy układ jest sprzeczny i nie ma rozwiązań, bowiem nie można dzielić przez zero...

teraz już wszystko wiem, dziękuje bardzo

\(\displaystyle{ W=0}\) Nie oznacza, że układ jest sprzeczny. Natomiast jeśli układ jest sprzeczny to \(\displaystyle{ W=0}\).