Oblicz bez użycia kalkulatora (potęgi)

[Mortus132]

\(\displaystyle{ \frac{2^{5} \cdot 4^{-1} }{ 2^{-3} }}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{2} \cdot \sqrt{8}}\)

Utknąłem na tych dwóch.
A na tym już leże całkowicie.

\(\displaystyle{ \frac{2^{0} + 2^{-1} }{\left( \frac{2}{3}\right)^{-2} -5 \cdot \left( -2\right)^{-2}+ \left( \frac{1}{2} \right)^{-2}} + \frac{3}{4}}\)

[konrad509]

Własności potęg i pierwiastków trzeba wykorzystać.
page.php?p=kompendium-potegi-i-pierwiastki

[jumper4]

\(\displaystyle{ \frac{2^{5} \cdot 4^{-1} }{ 2^{-3} }= \frac{2^{5} \cdot \left( 2 ^{2}\right) ^{-1} }{ 2^{-3} }=\frac{2^{5} \cdot 2 ^{-2}}{ 2^{-3} }= \frac{2 ^{5+\left( -2\right) } }{2 ^{-3} }= \frac{2 ^{3} }{2 ^{-3} }=2 ^{3-\left( -3\right) }=2 ^{6}=64}\)
Drugi przykad
\(\displaystyle{ \frac{2^{0} + 2^{-1} }{\left( \frac{2}{3}\right)^{-2} -5 \cdot \left( -2\right)^{-2}+ \left( \frac{1}{2} \right)^{-2}} + \frac{3}{4}= \\
\frac{1+ \frac{1}{2} }{\left( \frac{3}{2}\right)^{2} -5 \cdot \left( - \frac{1}{2} \right)^{2}+ 2^{2}} + \frac{3}{4}= \\
\frac{\frac{3}{2} }{ \frac{9}{4} - \frac{5}{4} + 4} + \frac{3}{4}= \\
\frac{\frac{3}{2} }{ \frac{4}{4}+ \frac{16}{4} } + \frac{3}{4}= \\
\frac{\frac{3}{2} }{ \frac{20}{4}} + \frac{3}{4}= \\
\frac{3}{2} } \cdot { \frac{4}{20} + \frac{3}{4}= \\
\frac{6}{20} + \frac{15}{20}=\frac{21}{20}=1\frac{1}{20}}\)

[Mortus132]

Dobrze a co z \(\displaystyle{ \sqrt{2} \cdot \sqrt{8}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{2 \cdot 8}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{16}}\)

\(\displaystyle{ 4}\)

Dobrze?
W tym ostatnim przykładzie wyszło mi tak:

\(\displaystyle{ \frac{2^{0} + 2^{-1} }{\left( \frac{2}{3}\right)^{-2} -5 \cdot \left( -2\right)^{-2}+ \left( \frac{1}{2} \right)^{-2}} + \frac{3}{4}}\)

\(\displaystyle{ \\ \frac{1+ \frac{1}{2} }{\left( \frac{3}{2}\right)^{2} -5 \cdot \left( - \frac{1}{2} \right)^{2}+ 2^{2}} + \frac{3}{4}}\)

\(\displaystyle{ \\ \frac{\frac{3}{2} }{ \frac{9}{4} - \left(- \frac{5}{4} + 4\right) } + \frac{3}{4}}\)

\(\displaystyle{ \\ \frac{\frac{3}{2} }{ \frac{9}{4} + \frac{5}{4} + 4} + \frac{3}{4}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{3}{2}}{ \frac{14}{4}+4}+ \frac{3}{4}}\)

Działanie w mianowniku

\(\displaystyle{ \frac{14}{4} +4= \frac{30}{4}}\)

\(\displaystyle{ \frac{3}{2}: \frac{30}{4}+ \frac{3}{4}}\)

\(\displaystyle{ \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{30}+ \frac{3}{4}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{10}+ \frac{3}{4}}\)

\(\displaystyle{ \frac{4}{20}+ \frac{15}{20}}\)

\(\displaystyle{ \frac{19}{20}}\)

[yorgin]

Tak, to jest dobrze.

[jumper4]

Nie jest dobrze.
\(\displaystyle{ -5 \cdot \left( - \frac{1}{2} \right) ^{2}=- \frac{5}{4} \neq \frac{5}{4}}\)
Według mnie błąd jest tutaj:\(\displaystyle{ \\ \frac{1+ \frac{1}{2} }{\left( \frac{3}{2}\right)^{2} -5 \cdot \left( - \frac{1}{2} \right)^{2}+ 2^{2}} + \frac{3}{4}}\)
I tutaj już źle:
\(\displaystyle{ \\ \frac{\frac{3}{2} }{ \frac{9}{4} - \left(- \frac{5}{4} + 4\right) } + \frac{3}{4}}\)

[yorgin]

Moje "dobrze" odnosiło się do pierwotnej wersji wiadomości, gdzie było tylko działanie pierwiastkowania. Nie mam wpływu na to, że autor postanawia zmienić post (na który już odpowiedziałem), co nie jest dobrą praktyką.

[Mortus132]

Zedytowałem post i nie zauważyłem że odpisałeś (przepraszam :3) A co do zadania. Dziękuje :3

[konrad509]

Zadanie z pierwiastkiem można zrobić też tak:
\(\displaystyle{ \sqrt 2\cdot\sqrt 8=\\
\sqrt2 \cdot2\sqrt 2=\\
2\cdot2=\\
4}\)

[Mortus132]

Nie za bardzo wiem jak to zrobiłeś patrze na tą stronę co mi podałeś ale ten twój sposób jakoś nie ogarniam ale chciałbym się go nauczyć.

[konrad509]

\(\displaystyle{ \sqrt 2\cdot\sqrt 8=\\
\sqrt2 \cdot\sqrt{4\cdot2}=\\
\sqrt2 \cdot\sqrt 4\cdot \sqrt 2=\\
\sqrt2 \cdot 2 \cdot \sqrt2=\\
2\cdot(\sqrt 2)^2=\\
2\cdot2=\\ 4}\)

[Dilectus]

Albo tak:

\(\displaystyle{ \sqrt{2} \cdot \sqrt{8}=\sqrt{2 \cdot 8}=\sqrt{16}=4}\)

na mocy prawa rozdzielności potęgowania względem mnożenia, które mówi, że dla dowolnych liczb a, b, x zachodzi równość:
\(\displaystyle{ a^{x} \cdot b^{x}= (a\cdot b)^{x}}\)

[yorgin]

Albo tak:

\(\displaystyle{ \sqrt{2} \cdot \sqrt{8}=\sqrt{2 \cdot 8}=\sqrt{16}=4}\)

To rozwiązanie podał autor tematu kilka postów wcześniej.

na mocy prawa rozdzielności potęgowania względem mnożenia, które mówi, że dla dowolnych liczb a, b, x zachodzi równość:
\(\displaystyle{ a^{x} \cdot b^{x}= (a\cdot b)^{x}}\)

A to "prawo" jest nieprawdziwe w ciele \(\displaystyle{ \RR}\).

[Gouranga]

Dlaczego nieprawdziwe?
\(\displaystyle{ a^x = a\cdot a\cdot a \ldots \cdot a\\
b^x = b\cdot b\cdot b \ldots \cdot b\\
a^x \cdot b^x = a\cdot a\cdot a \ldots \cdot a \cdot b\cdot b\cdot b \ldots \cdot b\\ = a \cdot b \cdot a \cdot b \cdot a \cdot b \cdot a \cdot b \cdot \ldots = (a\cdot b)^x}\)

[Premislav]

W powyższym poście zakładasz, że \(\displaystyle{ x}\) jest naturalne.
e: gwoli ścisłości - całkowite dodatnie.