Matematyka.pl

Czy wartość siły wyporu rośnie pod wpływem ciśnienia (chodzi o większą masę wody napierającą na przedmiot)?

np. mam przedmiot o objętości 1 m^3, więc siła wyporu jest równa \(\displaystyle{ 10kN = 1m^3 \cdot 10 \frac{m}{s^2} \cdot 1000 \frac{kg}{m^3}}\), tak?

I jeśli zaniedbam opory, to tyle będzie równa siła wyporu (i przyspieszenie też będzie stałe) aż do momentu wynurzenia \(\displaystyle{ dh}\)piłki, tak?

Jeśli będę chciał policzyć wraz z oporem, to głębokość będzie miała znaczenie? Jak to policzyć?

GluEEE pisze:Czy wartość siły wyporu rośnie pod wpływem ciśnienia (chodzi o większą masę wody napierającą na przedmiot)?

Nie, woda nie jest ściśliwa (w odróżnieniu do powietrza - lot balonem na różnych wysokościach, powietrze ma różną gęstość). Prawo Archimedesa mówi tylko o masie wypartej wody (równej objętości zanurzonego przedmiotu).

np. mam przedmiot o objętości 1 m^3, więc siła wyporu jest równa 10kN = 1m^3 cdot 10 frac{m}{s^2} cdot 1000 frac{kg}{m^3}, tak?

I jeśli zaniedbam opory, to tyle będzie równa siła wyporu (i przyspieszenie też będzie stałe) aż do momentu wynurzenia dhpiłki, tak?

Tak. Przyśpieszenie zależy od: stosunku gęstości przedmiotu i gęstości wody, która jest stała i wynosi \(\displaystyle{ 1000kg/m ^{3}}\) (i trochę od prędkości przedmiotu, jakby uwzględnić opory ruchu).
Druga Zasada Dynamiki, siła wypadkowa jest tutaj siłą wypadkową ciężaru klocka i siły wyporu (ew. siły oporu związanego z prędkością klocka w wodzie).

Jeśli będę chciał policzyć wraz z oporem, to głębokość będzie miała znaczenie? Jak to policzyć?

Raczej nie, pewności nie mam, może ma mały wpływ... w każdym razie nie spotkałem się z czymś takim w zadankach/teorii. No chyba, że chodzi Ci o opór związany z prędkością klocka...

No opór związany z prędkością, to całość trzeba liczyć z równania różniczkowego (tak?).

Mógłby ktoś pokazać jak?

Do równania bilasu sił trzeba dodać po stronie 'winien" iloczyn \(\displaystyle{ \alpha \cdot v}\).
Wtedy rownanie ruchu będzie takie:
\(\displaystyle{ m \cdot \ddot x = m \cdot g - \alpha \cdot v}\)
i rozwiązać je.
W.Kr.

A jakoś inaczej? Jakich winien ;o?

Winien, czyli pasywa bilansu.
Równanie jest napisane. Współczynnik proporcjonalności \(\displaystyle{ \alpha}\) oporu ruchu trzeba znaleźć w odpowiednich tablicach dla określonych kształtów ciała i płynu, tutaj wody. (lepkość, gęstość i tp)
W.Kr.

Który to rok studiów ?

Podstawy mechaniki - I rok.

Dobra, umiem rozwiązywać elementarne całki, różniczkować, całkować przez części... Ale nie. Nie równania różniczkowe.

Ma ktoś troszkę czasu albo jakąś lekturkę?

Jeśli chodzi o same rachunki to to co jest w drugim tomie Krysickiego wystarczy.

A jak to policzyć, mając zmienną gęstość (np. w powietrzu?)
Liczyć średnią między końcowym a początkowym i wyjdzie średnia siła (przyspieszenie?)
Czy próbować uzyskać zmienne przyspieszenie?

Ale ten współczynnik zależy od wielu czynników, np. od kształtu ciała. Dopiero mając dany określony profil i rozkład gęstości ośrodka można próbować coś liczyć. Co więcej podany wyżej wzór działa wyłącznie dla przypadku liczb Reynoldsa mniejszych od \(\displaystyle{ 5}\), a więc tylko dla w miarę regularnych przepływów. W pozostałych przypadkach trzeba korzystać z innych zależności. Pojawiające się wtedy we wzorach współczynniki zależą m.in. od kształtu ciała, liczb Reynoldsa i Macha itp.

Tu zadanie jest o tyle prostsze, że ciało porusza się w cieczy, w wodzie która jest uważana za nieściśliwą, zatem jej gęstość jest nie zmienna od dna do powierzchni. Zatem nie ma tu akurat potrzeby rozważania zmienności gęstości ośrodka. Po za tym, prędkość ruchu jest taka, że można ( tak myślę, że w tym przypadku można) przyjąć, że współczynnik oporu ruchu kjest liniową funkcją prędkości. Wtedy \(\displaystyle{ \alpha}\) jest iloczynem masy, bezwymiarowego współczynnika oporu k i pola przekroju czołowego A, wynurzającego się ciała.
Zadania, takie gdzie opór ruchu jest proporcjonalny do prędkości w pierwszej potędze, są rozwiązane w :
J. Nizioł, Metodyka rozwiązywania zadań z mechaniki. rozdz.10.2 Zadania odwrotne, przykłady 10.26 (str.282, Ciało o masie m spada pionowo bez prędkości początkowej, ... opór R =kmv) i 10.34 (str.293, Łódź podwodna o masie m zwiększyła balast tak, że jej wyporność przyjęła niewielką wartość ujemną .... znaleźć równanie ruchu łodzi zakładając że siła oporu R=\(\displaystyle{ \alpha \cdot v}\)) w wydaniu drugim z 1980 roku.
Rozwiązania są opisane.
W.Kr.