Matematyka.pl

Proszę o pomoc z całką z Krysickiego:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi } \sin(x) \sqrt{1+(\cos x) ^2 } dx}\)

W odpowiedziach jest: \(\displaystyle{ \sqrt{2} + \ln ( \sqrt{2} + 1)}\)
A mnie wychodzi: \(\displaystyle{ \sqrt{2} + \frac{1}{2} \ln ( \sqrt{2} + 1) - \frac{1}{2} \ln ( \sqrt{2} - 1)}\)

Czy aby na pewno funkcja podcałkowa jest poprawnie napisana? Nie mam zbioru ze sobą więc nie jestem w stanie sprawdzić poprawności zapisu tego przykładu.

Dzięki za poprawę, a sinus ma być bez kwadratu

Trudno określić rodzaj pomocy, skoro nie przedstawiasz rachunków.

Mogę co najwyżej napisać, że całkę nieoznaczoną liczy się podstawieniem \(\displaystyle{ t=\cos x}\) a następnie tak, jak w Twoim poprzednim temacie z całkami.

W takim razie proponuję \(\displaystyle{ t=\cos x}\), skąd dostaniesz całeczkę (nie będę pisał granic całkowania) \(\displaystyle{ \int \sqrt{1+t^2}\mbox{d}t}\), którą ogarniesz albo metodą współczynników nieoznaczonych albo pierwszym podstawieniem Eulera: \(\displaystyle{ \sqrt{1+t^2} = s-t}\).

A czy mógłby ktoś policzyć tę całkę i napisać jaki mu wychodzi wynik? Nie jestem biegła w Latexie i napisanie wszystkich obliczeń zajęło by mi dużo czasu, a liczyłam dokładnie tak jak pisaliście, z podstawieniem \(\displaystyle{ t=\cos x}\) i dalej metodą współczynników nieoznaczonych

\(\displaystyle{ \sqrt{2} + \frac{1}{2} \ln ( \sqrt{2} + 1) - \frac{1}{2} \ln ( \sqrt{2} - 1) = \sqrt{2} + \frac{1}{2}\ln( \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} )=\sqrt{2} + \ln( \sqrt{ \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} })}\)

dalej

\(\displaystyle{ \sqrt{2} + \ln( \sqrt{ \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} })= \sqrt{2} + \ln( \sqrt{ \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} }) = \sqrt{2} + \ln ( \sqrt{2} + 1)}\)

Czyli muszę powtórzyć logarytmy Dzięki wielkie!