Niezależność podczas rzucanie monetą
: 1 sie 2013, o 11:46
W rzucie fałszywą monetą orzeł wypada z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\). Wykonano \(\displaystyle{ n}\) niezależnych rzutów tą monetą. Niech \(\displaystyle{ E}\) oznacza zdarzenie w pierwszym rzucie wypadł orzeł, zaś \(\displaystyle{ F_k}\) zdarzenie w sumie wypadło \(\displaystyle{ k}\) orłów. Opisz wszystkie pary \(\displaystyle{ (n, k)}\) dla których zdarzenia \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F_k}\) są niezależne.
Według mnie:
\(\displaystyle{ P(E) = \frac{1}{3} \\ P(F_k) = {n \choose k} \left( \frac{1}{3}\right) ^k \left( \frac{2}{3} \right) ^{n-k} \\ P(E \cap F_k) = \frac{1}{3} {n-1 \choose k-1} \left( \frac{1}{3}\right) ^{k-1} \left( \frac{2}{3}\right) ^{n-k}}\)
Z niezależności:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{3}\right) {n \choose k} \left( \frac{1}{3}\right) ^k \left( \frac{2}{3} \right) ^{n-k} = \left( \frac{1}{3}\right) {n-1 \choose k-1} \left( \frac{1}{3}\right) ^{k-1} \left( \frac{2}{3}\right) ^{n-k}}\)
Skąd po prostych rachunkach:
\(\displaystyle{ k = \frac{n}{3}}\)
Czy ktoś mógłby rzucić na to okiem i stwierdzić czy jest poprawnie?
Według mnie:
\(\displaystyle{ P(E) = \frac{1}{3} \\ P(F_k) = {n \choose k} \left( \frac{1}{3}\right) ^k \left( \frac{2}{3} \right) ^{n-k} \\ P(E \cap F_k) = \frac{1}{3} {n-1 \choose k-1} \left( \frac{1}{3}\right) ^{k-1} \left( \frac{2}{3}\right) ^{n-k}}\)
Z niezależności:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{3}\right) {n \choose k} \left( \frac{1}{3}\right) ^k \left( \frac{2}{3} \right) ^{n-k} = \left( \frac{1}{3}\right) {n-1 \choose k-1} \left( \frac{1}{3}\right) ^{k-1} \left( \frac{2}{3}\right) ^{n-k}}\)
Skąd po prostych rachunkach:
\(\displaystyle{ k = \frac{n}{3}}\)
Czy ktoś mógłby rzucić na to okiem i stwierdzić czy jest poprawnie?