Matematyka.pl

Czy jest podgrupą grupy permutacji \(\displaystyle{ S_5}\) zbiór permutacji spełniajacych warunek
a) \(\displaystyle{ \sigma(1) = 1}\) ;
b) \(\displaystyle{ \sigma(1) \neq 1}\) ;
c) \(\displaystyle{ \sigma(1) \in \left\{ 1,2\right\}}\) ;
d) \(\displaystyle{ \sigma(1) = 2}\) ?

Posprawdzaj warunki definicji na grupę. Oznaczenie \(\displaystyle{ \sigma(1) = 1}\) oznacza, że jedynka przechodzi w jedynkę. Np. \(\displaystyle{ \left( \begin{array}{cccc} 1& 2&3&4 \\1&4&2&3\end{array}\right)}\).

No właśnie nie za bardzo wiem jak te warunki z definicji podgrupy wykorzystać tutaj.

Z warunków na grupę korzystaj, wystarczy to. Złożenie permutacji działa w tym wypadku. Element neutralny też ma jedynkę na pierwszym miejscu. Łączność wynika z grupy permutacji. Element odwrotny też musi mieć jedynke na pierwszym miejscu bo inaczej ze złożenia nie wyszła by permutacja identycznościowa.
Tylko ładnie to teraz zapisz.

robertm19 pisze: Element neutralny też ma jedynkę na pierwszym miejscu.

I z tego względu można odrzucić co najmniej dwa przypadki.

Kryterium na to aby niepusty podzbiór był podgrupą, jest takie: dla dowolnych elementów z tego podzbioru \(\displaystyle{ a,b}\) element \(\displaystyle{ ab^{-1}}\) też należy do tego podzbioru. W ten sposób szybko można stwierdzić że jeden z przypadków jest podgrupą.

Jeżeli chcemy pokazać, że dany podzbiór nie jest podgrupą, łatwiej korzystać z konsekwencji tego kryterium. Np. jedna z tych konsekwencji to fakt, że do zbioru należy element neutralny. Już zostało zauważone, że pozwala to w dwóch przypadkach stwierdzić, że podzbiór nie jest podgrupą. W pozostałym przypadku można podać dwie permutacje z tego zbioru, których iloczyn nie jest już w tym zbiorze (co oczywiście jest sprzeczne z podanym kryterium).

W c) można też zauważyć, że takich permutacji jest \(\displaystyle{ 2\cdot 4!}\), co nie dzieli \(\displaystyle{ 5!}\), więc to nie może być podgrupa.

A czy nie jest przypadkiem tak, że tych permutacji jest \(\displaystyle{ 2 \cdot 3!}\)?