Matematyka.pl

Podać przykład kwadratowej macierzy \(\displaystyle{ A}\) wymiaru \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) o następujących własnościach:

1. Jedynymi wartościami własnymi macierzy \(\displaystyle{ A}\) są liczby \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\).
2. Wartości \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) są jednokrotne.

Gdyby ta macierz miała być rozmiaru \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) to nie byłoby problemu. Poszukiwana macierz byłaby postaci \(\displaystyle{ A = P \begin{bmatrix} 1&0\\0&0\end{bmatrix}P^{-1}}\) gdzie \(\displaystyle{ P}\) łatwo wyznaczyć. Natomiast w tym przypadku nie mogę z tego wyjść gdyż macierz ta nie ma trzeciej wartości własnej, zatem nie jestem w stanie skonstruować jej macierzy diagonalnej.

Macie jakiś pomysł na to zadanie?

Wielomian charakterystyczny macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\) jest trzeciego stopnia. Mając dwa pierwiastki rzeczywiste, musi też mieć trzeci, i to także rzeczywisty. Jeśli \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) mają być jedynymi wartościami własnymi, to jedna z nich musi być dwukrotna.

stąd wniosek, że wielomian charakterystyczny musi być postaci \(\displaystyle{ a(x-0)(x-1)^2 = ax(x-1)^2 \text{ lub } a(x-0)^2 \cdot (x-1) = ax^2(x-1)}\)

Zgadza się, wygląda mi to po prostu na błąd w treści zadania. Autorowi zadania być może chodziło o znalezienie macierzy \(\displaystyle{ 2 \times 2}\)/.

szw1710 pisze:Wielomian charakterystyczny macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\) jest trzeciego stopnia. Mając dwa pierwiastki rzeczywiste, musi też mieć trzeci, i to także rzeczywisty. Jeśli \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) mają być jedynymi wartościami własnymi, to jedna z nich musi być dwukrotna.

Ogólnie, wielomiany nieparzystego stopnia mają co najmniej jeden pierwiastek. Skąd wniosek, że jeśli wielomian trzeciego stopnia ma dwa pierwiastki to musi mieć trzeci, lub któryś z nich jest dwukrotny? Da się to jakoś uogólnić na wielomian dowolnego stopnia?

MakCis pisze: Ogólnie, wielomiany nieparzystego stopnia mają co najmniej jeden pierwiastek. Skąd wniosek, że jeśli wielomian trzeciego stopnia ma dwa pierwiastki to musi mieć trzeci, lub któryś z nich jest dwukrotny? Da się to jakoś uogólnić na wielomian dowolnego stopnia?

Wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\) ma \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków razem z ich krotnościami. Wartości własne liczymy rozkładając wielomian charakterystyczny nad \(\displaystyle{ \CC}\), nie nad \(\displaystyle{ \RR}\).

I dodatkowo jak napisał szw1710 będzie on rzeczywisty, bo pierwiastki wielomianu o współczynnikach rzeczywistych są parami sprzężone.