Matematyka.pl

Zadanie jest następujące:
W chwili \(\displaystyle{ n = 2,3,...}\) cząstka albo rozpada się (znika) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ q}\) albo przekształca się w \(\displaystyle{ m}\) takich samych cząstek z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p = 1 - q}\). Jaka jest średnia liczba cząstek w \(\displaystyle{ n}\)-tym pokoleniu?

Przez \(\displaystyle{ X_{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) rozumiem w dalszym ciągu, zmienną losową oznaczającą liczbę cząstek w \(\displaystyle{ n}\)-tym pokoleniu.
Na początku udało mi się ustalić, że \(\displaystyle{ EX_{2} = mp}\).
I teraz tak na chłopski rozum pomyślałem sobie, że jak w drugim pokoleniu 'mamy' średnio \(\displaystyle{ mp}\) cząstek to średnio z każdej cząsteczki powstaje \(\displaystyle{ mp}\) nowych cząstek. Stąd dochodzę do wniosku, że \(\displaystyle{ EX_{3} = (mp)^{2}}\). Indukcyjnie doszedłem do równości:\(\displaystyle{ EX_{n} = (mp)^{n-1}}\).
No więc postanowiłem to jakoś sformalizować i postanowiłem wykorzystać do tego celu warunkową wartość oczekiwaną (np. dla zm. losowej \(\displaystyle{ X_{3}}\)):
\(\displaystyle{ EX_{3} = E(E(X_{3}|X_{2})) = E(mp \cdot X_{2}) = mp \cdot EX_{2} = (mp)^{2}}\).

Chciałbym dowiedzieć się od Was czy takie rozumowanie nie jest przypadkiem zbyt mało precyzyjne. Mam wątpliwości, bo nie do końca jeszcze obyłem się z warunkową wartością oczekiwaną i nie wiem czy nie mogą się tutaj po drodze wydarzyć różne dziwne rzeczy.
Jeżeli to rozumowanie nie jest prawidłowe, to gdzie tkwi błąd.

Będę wdzięczny za wszelkie wskazówki.

Załóżmy, że w n-tym momencie jest \(\displaystyle{ X_n}\) cząstek. Wtedy:
\(\displaystyle{ X_{n+1}=Y_{1}^{(n+1)}+...+Y_{X_n}^{(n+1)}}\), gdzie:
\(\displaystyle{ P(Y_{i}^{(n+1)}=m)=1-P(Y_{i}^{(n+1)}=0)=p}\) i zmienne \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne. Wówczas, istotnie jak sam zauważyłeś, ze wzoru na w.w.o.:
\(\displaystyle{ EX_{n+1}=E(E(X_{n+1}|X_{n}))=E(E(Y_{1}^{(n+1)}+...+Y_{X_n}^{(n+1)}|X_n))=E(X_n \cdot E(Y_{1}^{(n+1)}|X_{n}))=E(X_n\cdot mp)=mpEX_n}\)
Tak więc przez indukcję otrzymujemy, co trzeba i to co napisałeś było dobrze, jedynie brakowało zmiennych pomocniczych.

Dziękuję za odpowiedź, teraz wygląda to rzeczywiście pełniej i bardziej mnie przekonało do poprawności rozwiązania. Fajnie, że tak szybko odpowiedziałeś.

Pozdrawiam