Matematyka.pl

Pewna drużyna piłkarska strzela \(\displaystyle{ n}\) goli w meczu z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p^n(1 - p)}\). Niezależnie od tego, drużyna przeciwna strzela \(\displaystyle{ m}\) goli z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ q^m(1 - q)}\) (gdzie \(\displaystyle{ 0 < p < 1}\), \(\displaystyle{ 0 < q < 1}\)).

Jakie jest prawdopodobieństwo bramkowego remisu? Zakładając dodatkowo, że \(\displaystyle{ p = q}\), dla jakiego \(\displaystyle{ p}\) prawdopodobieństwo bramkowego remisu jest największe?
(Uwaga: Bramkowy remis to remis, w którym padły bramki.)

Według mnie prawdopodobieństwo bramkowego remisu wynosi:

\(\displaystyle{ p(1-p)q(1-q) + p^2(1-p)q^2(1-q) + p^3(1-p)q^3(1-q) + ... = \frac{pq(1-p)(1-q)}{1-pq}}\)
Zakładając \(\displaystyle{ p=q}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{p^2 - p^3}{(p+1)^2}}\) co przyjmuje maksimum dla \(\displaystyle{ p = \frac{ \sqrt{5} -1 }{2}}\).

Prosiłbym o sprawdzenie.

Niezależność pozwala nam na pomnożenie tych prawdopodobieństw. Nie liczyłem dalej, ale jak się nie walnąłeś w obliczeniach to jest ok.

Nie uwzględniłeś sytuacji, gdy nie padła w meczu żadna bramka, tak więc to p-stwo wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{(1-p)(1-q)}{1-pq}}\) i dla \(\displaystyle{ p=q}\) p-stwo remisu jest największe dla \(\displaystyle{ p=0}\)

kubek1,

MakCis pisze: Jakie jest prawdopodobieństwo bramkowego remisu? (...)
(Uwaga: Bramkowy remis to remis, w którym padły bramki.)