Matematyka.pl

Lemat: Trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) punkty \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) na \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\) w tej kolejności, przy czym \(\displaystyle{ BD= CE}\), punkt \(\displaystyle{ S}\) - środek łuku \(\displaystyle{ BC}\) zawierający wierzchołek \(\displaystyle{ A}\). Teza: \(\displaystyle{ SD= SE}\) oraz punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ S}\), \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) leżą na jednym okręgu. Korzystamy z lematu i łatwo widzimy, że aby warunki zadania były spełnione środek okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ A_{1}B_{1}C_{1}}\) musi być środkiem łuku \(\displaystyle{ BC}\) lub \(\displaystyle{ CA}\) lub \(\displaystyle{ AB}\) zawierającego odpowiedni wierzchołek trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Bez szkody niech to będzie środek łuku \(\displaystyle{ BC}\) zawierający wierzchołek \(\displaystyle{ A}\). Oznaczmy go przez \(\displaystyle{ K}\). Pozostałe środki oznaczmy przez \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ M}\) dla \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\) odpowiednio. Teraz korzystając ponownie z lematu widzimy dwa deltoidy, \(\displaystyle{ KC_{1}LA_{1}}\) i \(\displaystyle{ KB_{1}MA_{1}}\), więc \(\displaystyle{ \angle LKM = \frac{1}{2}\angle BAC}\). Dalej przeliczenia na kątach i teza.

Indukcja względem \(\displaystyle{ k}\) z uwagi na to, że
dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych mamy:
\(\displaystyle{ 1+\frac{2^k -1}{n} =\left(1+\frac{2^{k-1} -1}{\frac{n}{2}}\right)\left(1+\frac{1}{n+2^k -2}\right)}\)
a dla nieparzystych:
\(\displaystyle{ 1+\frac{2^k -1}{n} =\left(1+\frac{2^{k-1} -1}{\frac{n+1}{2}}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)}\)

to nie jest troll

Jak umieścimy te punkty na okręgu kolorami na zmianę, to nietrudno spostrzec, że minimum to \(\displaystyle{ 2013}\) prostych. Pokażemy, że to wystarczy.
Weźmy otoczki wypukłe punktów czerwonych i punktów niebieskich. Z otoczkami wypukłymi sprawa ma się trochę jak z okręgami. Albo się tną, albo się zawierają w sobie, albo nie mają rozłączne zewnętrznie. Tylko styczne być nie mogą, wszak żadne trzy punkty mają nie być współliniowe. Gdy się w sobie zawierają, to otoczkę wypukłą punktów czerwonych należy odrobinę rozszerzyć/zwężyć w zależności od tego czy ta otoczka jest wewnątrz czy na zewnątrz. Proste przechodzące przez boki nowej figury spełniają warunki zadania.
Wprowadźmy teraz dwie operacje:
Operacja \(\displaystyle{ X}\)
Opis: Dla wielokąta wypukłego i punktu \(\displaystyle{ A}\) leżącego na zewnątrz, poszukiwać będziemy takiej prostej, że dany wielokąt będzie po jednej z jej stron, zaś dany punkt po przeciwnej.
Poprowadźmy półproste przez wierzchołki wielokąta, równoległe do boków wielokąta zawierających te wierzchołki, ale nie zawierające tych boków. Podzieliły one nam płaszczyznę na już istniejący wielokąt, obszary \(\displaystyle{ \alpha}\) zawarte między półprostymi wychodzącymi z tych samych wierzchołków i obszary \(\displaystyle{ \beta}\) trójkąty zawarte między bokami wielokąta i półproste wychodzące z końców tych boków. Jeśli nasz punkt leży w obszarze \(\displaystyle{ \alpha}\), to widać że jak weźmiemy prostą \(\displaystyle{ k}\) równoległą do półprostej wyznaczającej ten obszar i przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ A}\), to dowolna prosta zawarta między tą półprostą i prostą \(\displaystyle{ k}\) jest tą przez nas szukaną. Jeśli zaś nasz punkt leży w obszarze \(\displaystyle{ \beta}\), to weźmiemy prostą zawartą między bokiem wielokąta wyznaczającym ten obszar i prostą równoległą do tego boku przechodzącą przez ten punkt.
Operacja \(\displaystyle{ Y}\)
Opis: Dla każdej pary punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) i skończonego zbioru punktów \(\displaystyle{ C_{i}}\), będziemy szukać pary prostych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) dzielących płaszczyznę na takie obszary, że żaden z punktów \(\displaystyle{ C_{i}}\) nie znajduje się w jednym obszarze z którymś z punktów \(\displaystyle{ A}\) lub \(\displaystyle{ B}\).
Poprowadźmy prostą \(\displaystyle{ AB}\). Niech \(\displaystyle{ C}\) będzie punktem o najmniejszej odległości od tej prostej z jednej z jej stron. Przez \(\displaystyle{ C}\) prowadzimy prostą \(\displaystyle{ m}\) równoległą do prostej \(\displaystyle{ AB}\) i prosta \(\displaystyle{ k}\) jest prostą zawartą między prostymi \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ m}\). Prostą \(\displaystyle{ l}\) definiujemy analogicznie z drugiej strony prostej \(\displaystyle{ AB}\).

Wróćmy do zadania. Gdy nasze otoczki są rozłączne zewnętrznie wystarczy dla każdego punkt czerwonego wykonać operację \(\displaystyle{ X}\).
Gdy nasze otoczki się przecinają, to dla pewnego punktu czerwonego leżącego na zewnątrz otoczki wypukłej punktów niebieskich wykonujemy operację \(\displaystyle{ X}\). Pozostałe \(\displaystyle{ 2012}\) punktów czerwonych dobieramy dowolnie w pary i dla każdej z nich wykonujemy operację \(\displaystyle{ Y}\).