Strona 1 z 1
Podzielność kolejnych kwadratów
: 23 lip 2013, o 13:58
autor: realityoppa
Znajdź wszystkie takie całkowite dodatnie \(\displaystyle{ d}\) że \(\displaystyle{ d| n^{2}+1}\) i \(\displaystyle{ d| (n+1)^{2}+1}\) dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ n}\)
Podzielność kolejnych kwadratów
: 23 lip 2013, o 14:24
autor: bakala12
Skoro \(\displaystyle{ d}\) dzieli te dwie liczby to dzieli też ich sumę i różnice Wyjdzie \(\displaystyle{ d=1}\).
Podzielność kolejnych kwadratów
: 23 lip 2013, o 15:05
autor: robertm19
bakala12,
sprawdź dla \(\displaystyle{ n=2}\) i \(\displaystyle{ n=7}\). Wychodzi \(\displaystyle{ d>1}\).
Podzielność kolejnych kwadratów
: 23 lip 2013, o 15:11
autor: yorgin
bakala12 pisze:Skoro \(\displaystyle{ d}\) dzieli te dwie liczby to dzieli też ich sumę i różnice Wyjdzie \(\displaystyle{ d=1}\).
Z tego wyjdzie co najwyżej, że
\(\displaystyle{ d}\) jest nieparzysta.
Podzielność kolejnych kwadratów
: 23 lip 2013, o 15:21
autor: Vax
Pomysł ok, niech \(\displaystyle{ d \mid n^2+1 \wedge d \mid n^2+2n+2 \Rightarrow d \mid 2n+1}\)
Ale \(\displaystyle{ d \mid n^2+1 \Rightarrow d \mid 4n^2+4 = (2n+1)^2 - 4n+3 \iff d \mid 4n-3}\)
Czyli \(\displaystyle{ d \mid 4n-3 \wedge d \mid 4n+2 \Rightarrow d \mid 4n+2-(4n-3) = 5 \iff d = 1 \vee d=5}\)
Podzielność kolejnych kwadratów
: 23 lip 2013, o 16:00
autor: Gouranga
\(\displaystyle{ d \mid \left(n + 1\right)^2 + 1\\
d \mid n^2 + 2n + 2\\
d \mid n^2 + 1 + 2n + 1 \wedge d \mid n^2 + 1 \Rightarrow d \mid 2n+1\\}\)
Więc na pewno nie będzie konkretnie \(\displaystyle{ d = 1}\) bo dla każdego nieparzystego n zachodzi też \(\displaystyle{ d=2}\)
Podzielność kolejnych kwadratów
: 23 lip 2013, o 16:32
autor: bakala12
Widzę walnąłem się w rachunkach. Dzięki za zwrócenie uwagi. Gouranga, nie może być \(\displaystyle{ d=2}\).