Gradient - Wspolrzedne sferyczne
: 23 lip 2013, o 12:05
Witam,
mam maly problem z obliczeniem gradientu (potencjalu elektrycznego), ktory jest podany w wspolrzednych sferycznych.
\(\displaystyle{ \phi(r) = \frac{ \alpha}{r}}\)
Wykorzystujac
\(\displaystyle{ r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
Otrzymuje
\(\displaystyle{ \frac{\partial \phi}{ \partial x} = \frac{- \alpha \cdot x}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial \phi}{ \partial y} = \frac{- \alpha \cdot y}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial \phi}{ \partial z} = \frac{- \alpha \cdot z}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}} }}\)
oraz
\(\displaystyle{ \nabla \phi = - \alpha \cdot \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \cdot \left( x, y, z \right)^T}\)
Moge to przeksztalcic do formy nastepujacej
\(\displaystyle{ \nabla \phi = - \alpha \cdot \frac{1}{r^3} \cdot \left(x, y, z \right)^T}\)
Ale co dalej? Jak sie pozbyc wektora x,y,z zeby otrzymac wszystko w wspolrzednych sferycznych? Porsze o pomoc.
Pozdrawiam
Tomek
mam maly problem z obliczeniem gradientu (potencjalu elektrycznego), ktory jest podany w wspolrzednych sferycznych.
\(\displaystyle{ \phi(r) = \frac{ \alpha}{r}}\)
Wykorzystujac
\(\displaystyle{ r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
Otrzymuje
\(\displaystyle{ \frac{\partial \phi}{ \partial x} = \frac{- \alpha \cdot x}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial \phi}{ \partial y} = \frac{- \alpha \cdot y}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial \phi}{ \partial z} = \frac{- \alpha \cdot z}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}} }}\)
oraz
\(\displaystyle{ \nabla \phi = - \alpha \cdot \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \cdot \left( x, y, z \right)^T}\)
Moge to przeksztalcic do formy nastepujacej
\(\displaystyle{ \nabla \phi = - \alpha \cdot \frac{1}{r^3} \cdot \left(x, y, z \right)^T}\)
Ale co dalej? Jak sie pozbyc wektora x,y,z zeby otrzymac wszystko w wspolrzednych sferycznych? Porsze o pomoc.
Pozdrawiam
Tomek