Matematyka.pl

Oblicz \(\displaystyle{ \sin(x)}\) i \(\displaystyle{ \cos(x)}\) jeśli :

\(\displaystyle{ \cos(2x) = \frac{1}{8}}\) Oraz \(\displaystyle{ x\in\left( 0; \frac{ \pi }{2} \right)}\)

Moje rozumowanie:

\(\displaystyle{ \cos(2x) = \frac{1}{8} \wedge x\in\left( 0; \frac{ \pi }{2} \right) \Rightarrow \frac{ \sqrt{63} }{64}}\)

Ponieważ jedynka trygonometryczna, oraz fakt że: jeżeli \(\displaystyle{ x\in\left( 0; \frac{ \pi }{2} \right)}\) to \(\displaystyle{ (2 \cdot x) \in\left( 0 ; \pi \right)}\)

A nawet gdyby kąt był ujemny tzn od \(\displaystyle{ -270}\) stopni do \(\displaystyle{ -360}\) stopni, to też powinien spełniać powyższe spostrzeżenie. (Nie wiem dlaczego tak mi wyszło)

\(\displaystyle{ \sin(2x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \cdot 2}\) Też niestety nie rozumiem zbytnio tej zależności trygonometrycznej.

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{63} }{64} = \sin(x) \cdot \cos(x) \cdot 2}\)


\(\displaystyle{ \sin(x)^{2} + \cos(x)^{2 } = 1 \Rightarrow |\sin(x)| = \sqrt{1 -\cos(x)^{2}} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{63} }{64} = 2 \cdot \sqrt{1 - \cos(x)^{2}} \cdot \cos(x)}\)

I teraz mam problem. Jeżeli ktoś by miał czas i chęć prosiłbym też o wytłumaczenie tych zależności z których korzystamy.

Z góry dziękuję za pomoc i czas

PS: Używałem "E" jako znaku "należy do".

1) Jedynka trygonometryczna
2) Rozpisać kosinusa podwojonego kąta (też kwadraty funkcji)

Rozwiązać układ równań 1 i 2.

PS. in = \(\displaystyle{ \in}\)

pierwsza zależność: zauważmy, że \(\displaystyle{ x\in ( 0; \frac{ \pi }{2})}\) to w zasadzie \(\displaystyle{ x \in( 0+2 \pi k; \frac{ \pi }{2} + 2 \pi k)}\), gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Powtarzasz obliczenia w tej formie i powinno wyjść to samo.

druga zależność:
\(\displaystyle{ \sin(2x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ \sin(2x) = \sin(x+x) = \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) = 2 \cdot \cos (x) \sin (x)}\)

P.S. \(\displaystyle{ \sin(A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)}\)
na to dobrzy wytłumaczony dowód, co prawda po angielsku, ale z amerykańskim, przejrzystym akcentem i wszystkim jasno pisanym na "tablicy" jest na akademii khana ... n-a--cos-b

edit: ach te kody...