Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{1+\sin x+\cos x}dx=}\)

Bardzo proszę o pomoc.

Pewnym sposobem na ruszenie tego będzie klasyczne podstawienie \(\displaystyle{ u = \tan (x/2)}\), co pozwala na napisanie \(\displaystyle{ \sin x = \frac{2u}{1+u^2}}\), \(\displaystyle{ \cos x = \frac{1-u^2}{1+u^2}}\) oraz \(\displaystyle{ dx = \frac{2du}{1+u^2}}\) i w rezultacie dostaniesz całkiem przyjemną całeczkę.

... etrycznych

Q.

Można też tak zaatakować:
\(\displaystyle{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{1 + \sin x + \cos x}} = \frac{1}{{1 + \sin x + \cos x}} \cdot \frac{{1 - (\sin x + \cos x)}}{{1 - (\sin x + \cos x)}} = \frac{{1 - \sin x - \cos x}}{{1 - (\sin ^2 x + 2\sin x\cos x + \cos ^2 x)}} = \\
= \frac{{1 - \sin x - \cos x}}{{ - 2\sin x\cos x}} = \frac{1}{{ - 2\sin x\cos x}} + \frac{1}{{2\cos x}} + \frac{1}{{2\sin x}} = \red{{\frac{{ - 1}}{{\sin 2x}} + \frac{1}{{2\cos x}} + \frac{1}{{2\sin x}}}} \\
\int {\frac{1}{{\sin x}}dx = \int {\frac{{\sin x}}{{\sin ^2 x}}dx} = \int {\frac{{\sin x}}{{1 - \cos ^2 x}}dx} = \left[ \begin{array}{l}
\cos x = u \\
- \sin xdx = du \\
\sin xdx = - du \\
\end{array} \right]} = - \int {\frac{{du}}{{1 - u^2 }}} = \\
= \int {\frac{{du}}{{u^2 - 1}}} = \int {\left( {\frac{{0.5}}{{u - 1}} - \frac{{0.5}}{{u + 1}}} \right)} du = 0.5\ln \left| {\frac{{u - 1}}{{u + 1}}} \right| + C = \red{{0.5\ln \left| {\frac{{\cos x - 1}}{{\cos x + 1}}} \right| + C}} \\
\end{array}}\)