Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Przez spektrum pierścienia rozumie się zbiór \(\displaystyle{ Spec\ P}\) składający się ze wszystkich ideałów pierwszych pierścienia \(\displaystyle{ P}\) . W którym wprowadza się topologię przyjmując zbiory

\(\displaystyle{ V(E)=\{p\in Spec P: E\subseteq p\}}\)

za rodzinę zbiorów domkniętych.

No i tutaj mam problem z pokazaniem, że jeśli \(\displaystyle{ V(E_1),\ V(E_2)}\) są takimi zbiorami, to również \(\displaystyle{ V(E_1)\cup V(E_2)}\) jest zbiorem tego typu. Znalazłam pracę w której jest stwierdzenie, że

\(\displaystyle{ V(E_1)\cup V(E_2)=V(J)}\), gdzie \(\displaystyle{ J}\) jest częścią wspólną \(\displaystyle{ (E_1)\cap (E_2)}\) ideałów generowanych przez odpowiednio \(\displaystyle{ E_1}\) oraz przez \(\displaystyle{ E_2}\).

Wychodziło by z tego, że każdy ideał pierwszy zawierający \(\displaystyle{ J}\) musiałby zawierać zbiór \(\displaystyle{ E_1}\) lub zbiór \(\displaystyle{ E_2}\). No i właśnie nie wiem jak to pokazać.

Załóżmy, że \(\displaystyle{ (E_1) \cap (E_2) \subseteq \mathfrak{p}}\), ale \(\displaystyle{ \mathfrak{p}}\) nie zawiera żadnego z tych zbiorów. Wtedy istnieją \(\displaystyle{ e_1 \in E_1, e_2 \in E_2}\), które nie należą do \(\displaystyle{ \mathfrak{p}}\). Wtedy ich iloczyn też nie należy do \(\displaystyle{ \mathfrak{p}}\) (bo to ideał pierwszy), ale ten iloczyn należy do \(\displaystyle{ (E_1) \cap (E_2)}\), sprzeczność.
Polecam skrypt Raviego Vakila:

Ten temat jest tam w paragrafie 3.4.