Matematyka.pl

Mam taki problem, a mianowicie chcę rozwiązać takie równanie za pomocą uogólnionej macierzy odwrotnej:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+z=-1 \\ -x+y-z=1 \end{cases}}\)

Czyli mam macierz:

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&-1&1\\-1&1&-1\end{bmatrix}}\)

Wyznaczam do niej uogólnioną macierz odwrotna i otrzymuje:

\(\displaystyle{ A^{-}=\begin{bmatrix} 1&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}}\)

Wracając do równania, mnożę dwie macierze i otrzymuje wynik:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} -1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}}\)

I tutaj mam problem bo to nie wszystkie rozwiązania. Bo istnieją też inne macierze \(\displaystyle{ A^{-}}\).

Jak to rozwiązać za pomocą powyższej metody, aby uwzględnić wszystkie rozwiązania?
Trzeba liczyć to wszystko po kolei?

Jak ktoś wie gdzie znajduje się teoria na temat uogólnionych macierzy odwrotnych to byłbym wdzięczny za informację.

Za wszystkie odpowiedzi Dziękuję.

I tutaj mam problem bo to nie wszystkie rozwiązania.

Oczywiście, bo ten układ ma nieskończenie wiele rozwiązań

Uogólnioną macierz odwrotną wyznaczasz nie wiem jak, ale źle (ma kolumnę samych zer, co powinno wzbudzić Twoje wątpliwości...). Użyj na przykład SVD.

Masz trzy zmienne i tylko jedno niezależne równanie. Rozwiązaniem jest więc płaszczyzna, czyli zbiór punktów sparametryzowany liniowo przez dwa parametry. Masz \(\displaystyle{ Ax = b}\), gdzie \(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&-1&1\\-1&1&-1\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ x = \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ b = \begin{bmatrix} -1\\1 \end{bmatrix}}\). Rozwiązania \(\displaystyle{ x}\) z użyciem uogólnionej macierzy odwrotnej można zapisać tak \(\displaystyle{ x = A^{-1}b + \left[I-A^{-1}A\right]v}\), gdzie \(\displaystyle{ v}\) jest dowolnym wektorem. Dla Twoich danych mamy:
\(\displaystyle{ x = \begin{bmatrix} c&-c\\-c&c\\c&-c\end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1\\1\end{bmatrix} + \left[\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} c&-c\\-c&c\\c&-c\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-1&1\\-1&1&-1\end{bmatrix}\right] \begin{bmatrix} t\\s\\r\end{bmatrix},}\) gdzie \(\displaystyle{ c=\frac{1}{6}}\)
Każde rozwiązanie ma postać \(\displaystyle{ x = \begin{bmatrix} -2c\\2c\\-2c\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4c&2c&-2c\\2c&4c&2c\\-2c&2c&4c\end{bmatrix} \begin{bmatrix} t\\s\\r\end{bmatrix}}\), gdzie \(\displaystyle{ t, s, r}\) to dowolne liczby. Ponieważ mamy mieć 2 parametry, to tylko dwie z tych liczb mogą być niezależne. Wybierzmy sobie na przykład \(\displaystyle{ r = 0}\) i wtedy mamy
\(\displaystyle{ x = \begin{bmatrix} -2c\\2c\\-2c\end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 4c\\2c\\-2c\end{bmatrix} +s \begin{bmatrix} 2c\\4c\\2c\end{bmatrix} = p_0 + tv_1 + sv_2}\), czyli równanie parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ p_0}\) i równoległej do niewspółliniowych wektorów \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_2}\). Oczywiście tę płaszczyznę można sparametryzować inaczej. Na nieskończenie wiele sposobów. Każdy punkt tej płaszczyzny jest Twoim rozwiązaniem.

Ta macierz odwrotna jest dobrze wyznaczona. skąd wyszło \(\displaystyle{ c=\frac{1}{6}}\)?

Jak wyznaczyć tą uogólniona macierz odwrotną?-- 15 lip 2013, o 22:47 --Rzeczywiście jest źle wyznaczona, jak ją wyznaczyć?