Matematyka.pl

Liczby naturalne \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) (\(\displaystyle{ p < q}\)) są kolejnymi liczbami pierwszymi
większymi od \(\displaystyle{ 2}\). Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ p + q}\) jest iloczynem co najmniej trzech
liczb naturalnych (niekoniecznie różnych) większych od \(\displaystyle{ 1}\).

Rozpatrzmy trzy przypadki:
\(\displaystyle{ 1. \ \ \ \ p=3 \wedge q = 5}\)
Wówczas \(\displaystyle{ p+q=3+5=8=2 \cdot 2 \cdot 2}\) jest iloczynem trzech liczb naturalnych, większych od \(\displaystyle{ 1}\).
\(\displaystyle{ 2. \ \ \ \ p=5 \wedge q=7}\)
Wówczas \(\displaystyle{ p+q=5+7=12=2 \cdot 2 \cdot 3}\) jest iloczynem trzech liczb naturalnych, większych od \(\displaystyle{ 1}\).
\(\displaystyle{ 3. \ \ \ \ p>5 \wedge q>7}\)
Wprowadźmy oznaczenia:
\(\displaystyle{ p= 6k-1 \\ q = 6k+1}\)
A więc liczba \(\displaystyle{ p+q=6k-1+6k+1=12k=2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot k}\) jest iloczynem trzech liczb naturalnych, większych od \(\displaystyle{ 1}\).
Czy rozwiązanie jest poprawne, czy istnieje prostszy sposób?

Wygląda zupełnie w porządku.

Jest źle. To, że są to kolejne liczby pierwsze nie oznacza, że różnią się o 2.

No tak Vax, jak zwykle na posterunku. Dzięki za zwrócenie uwagi. To w takim razie jak rozwiązać to zadanie? Może dowód nie wprost?

Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{p+q}{2}}\) jest całkowite i leży pomiędzy dwiema kolejnymi liczbami pierwszymi, więc jest liczbą złożoną, więc \(\displaystyle{ p+q = 2 \cdot \frac{p+q}{2}}\) jest iloczynem co najmniej 3 liczb naturalnych.

Nie nadaję się chyba do matematyki :<...

soulforged, nonsens, tylko Vax wymyśla takie rzeczy

Po prostu nie wpadłbym na to za żadne skarby, czy tylko ja jestem taki ograniczony?

Spoko wszystko z Tobą w porządku. Nie zawsze widzi się takie rzeczy. Ja też jestem chyba mocno ograniczony mimo, że jestem finalistą OMa Zdarza się.

Pozostaje tylko zauważyć, że to zadanie pochodzi z Krowy, a rozwiązanie Vaxa jest rozwiązaniem firmowym.

Wybaczcie panowie, takie posty są zazwyczaj nie na miejscu, bo trącą czymś czym sam gardzę, ale ten post mam nadzieję będzie może wartościowy.

Otóż dla mnie to rozwiązanie było natychmiastowe, a nie mam takich osiągnięć jak bakala12, że o Vaxie już nie wspomnę. Jak widać czasem trzeba mieć po prostu farta by trafić na właściwą ścieżkę. soulforged czasem jak zadanie nie idzie, nie masz pomysłu i ogólnie jesteś już nieźle sfrustrowany, zostaw to zadanie, odłóż je na jutro, za tydzień czy jak tam wolisz. Podejdź do niego z inną głową, mniej/bardziej wyspany, po innym obiedzie, a nuż pomysł przyjdzie akurat wtedy. Przede wszystkim nie łam się. Poza tym w tym rozwiązaniu nie ma pomysłów z aż tak odległego Kosmosu analizuj sobie takie kosmiczne rozwiązania i próbuj rozkminić skąd te pomysły mogły przyjść. Tutaj nie jest przecież tak strasznie. Masz dwie kolejne liczby pierwsze, co oznacza, że wszystkie między nimi są złożone. Najoczywistszą liczbą pomiędzy dwiema jest ich średnia, tu szczęśliwie całkowita itd.

Racja, Ponewor...
A poza tym (dla uzupełnienia Twojej wypowiedzi) zauważmy, że wszystkie odkrycia matematyczne polegają na tym, że ktoś wpadł na pomysł, na który nikt przed nim nie wpadł...