Matematyka.pl

Udowodnij, że jeśli liczby \(\displaystyle{ p>3}\) i \(\displaystyle{ 10p+1}\) są pierwsze, to liczba \(\displaystyle{ 5p+1}\) nie jest pierwsza.

Skoro liczba \(\displaystyle{ p}\) jest pierwsza to można zapisać ją postaci \(\displaystyle{ 6k \pm 1}\). A więc liczba \(\displaystyle{ 5p+1 =5(6k \pm 1)+1 \Leftrightarrow 30k+6 \vee 30k-4 \Leftrightarrow 2(15k+3) \vee 2(15k-2)}\) nie może być pierwsza, gdyż jest podzielna przez 2.
Czy dowód jest poprawny?

Coś mi tu podejrzanie wygląda. Gdzie wykorzystujesz założenie, że \(\displaystyle{ 10p+1}\) jest liczbą pierwszą? A także, że \(\displaystyle{ p>3}\)?

Wykorzystuję założenie, że \(\displaystyle{ p>3}\) w momencie, gdy zapisuję je w postaci \(\displaystyle{ 6k \pm 1}\), gdyż nie da się w takiej postaci zapisać np. 2, czy 3 (które też są liczbami pierwszymi). A pierwsze założenie nie wiem jak wykorzystać, ale jeśli dowód jest poprawny to jest sens to robić?

Z tym przedstawieniem jest OK. Ale nie korzystasz z założenia o \(\displaystyle{ 10p+1}\). Oczywiście jest dla mnie jasne, że liczba \(\displaystyle{ 5p+1}\) jest parzysta, jeśli \(\displaystyle{ p=6k\pm 1}\) przy \(\displaystyle{ k\ge 1}\). Nie mogę w tej chwili dogłębnie problemu zanalizować. Nie wypowiem się więc autorytatywnie. Przynajmniej w tej chwili, gdy w domu raban i dzieci spać kłaść trzeba

Ok, dziękuję i tak. Może ktoś jeszcze się wypowie.

Wiedząc, że liczba \(\displaystyle{ p>3}\) możemy przedstawić ją w postaci \(\displaystyle{ 6k \pm 1}\).

Korzystając z założenia, że \(\displaystyle{ 10p+1}\) jest liczbą pierwszą mamy:


\(\displaystyle{ 1^\circ p=6k+1}\)

\(\displaystyle{ 10(6k +1)+1=60k+11}\)


\(\displaystyle{ 2^\circ p=6k-1}\)

\(\displaystyle{ 10(6k-1)+1=60k-9=3(20k-3)}\) skąd sprzeczność z założeniem, że liczba \(\displaystyle{ 10p+1}\) jest pierwsza.


Zatem \(\displaystyle{ p=6k+1}\), a stąd \(\displaystyle{ 5p+1=5(6k+1)+1=30k+6=6(5k+1)}\), a więc liczba \(\displaystyle{ 5p+1}\) nie może być pierwsza.

Vether, rozwiązanie ok, ale nie zmienia to jednak faktu iż niezależnie od postaci \(\displaystyle{ p}\) liczba \(\displaystyle{ 5p+1}\) jest parzysta.

Ale i tak chyba coś nie tak z tym zadaniem. Niech \(\displaystyle{ p\ge 3}\) będzie liczbą nieparzystą. Wtedy mamy, że \(\displaystyle{ 5p}\) też jest nieparzyste, a więc \(\displaystyle{ 5p+1}\) parzyste. Oczywiście powyższe rozumowanie jest poprawne i bardzo ładne. Ale teza jest znacznie ogólniejsza.

yorgin, wiem, chciałem tylko pokazać, w jaki sposób wykorzystać drugie założenie, gdyby komuś bardzo na tym zależało;) Zgadzam się jednak, że jest trochę... zbędne.

Pozostaje poczekać, aż wypowie się soulforged. Może napisał nie to, co chciał napisać. Chodzi albo o inne założenia, albo o inną tezę.

szw1710 pisze:Pozostaje poczekać, aż wypowie się soulforged. Może napisał nie to, co chciał napisać. Chodzi albo o inne założenia, albo o inną tezę.

Polecenie jest poprawne. Podkusiło mnie o sprawdzenie "książkowego rozwiązania" i tam to założenie jest rzeczywiście wykorzystanie. Pytanie jednak mam inne - czy za niewykorzystanie tego założenia mogliby odjąć punkty, na przykład na OM?
Treść rozwiązania Henryka Pawłowskiego:

Liczba \(\displaystyle{ p}\) jest postaci \(\displaystyle{ 3k}\) lub \(\displaystyle{ 3k+1}\) lub \(\displaystyle{ 3k+2}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in N}\). Przypadek \(\displaystyle{ 3k}\) nie zachodzi, gdyż \(\displaystyle{ p>3}\) i \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą. Przypadek \(\displaystyle{ 3k+2}\) także nie zachodzi, gdyż wówczas \(\displaystyle{ 10p+1 = 10(3k+2)+1 = 30k+21=3(10k+7)}\) nie jest liczbą pierwszą. Pozostał więc przypadek \(\displaystyle{ p=3k+1}\). Wtedy \(\displaystyle{ 5p+1=5(3k+1)+1 = 3(5k+2)}\) jest liczbą złożoną.

Jest to więc zadanie z książki Pawłowskiego? Regulamin Forum zabrania zamieszczania skanów. Ale chętnie zobaczę skan na PW.

Rozwiązanie OK. Ale dziwi mnie, że takie zadanie znajdować by się mogło w takiej książce. Chcę to zweryfikować.

Ja nie wiem jak się ocenia zadania z pozycji nauczyciela szkoły średniej. To wszystko obrosło ogromną paranoją upupiającą (słowo z Ferdydurke Gombrowicza, ale tu najwłaściwsze) zdroworozsądkowe myślenie i tok rozwiązania inny niż oficjalny. Osobiście uważam, że dobra jest każda metoda prowadząca do celu, byle poprawna. Rozwiązanie z liczbami pierwszymi uważam za udziwnienie, ale trzeba by go uznać. Jeśli jednak można taniutkim kosztem pokazać coś więcej - czemu nie. Ale zapewne byłbyś oceniony niżej za niewykorzystywanie założeń. Jednak - jak powiadam - do końca nie wiem. Może ktoś z olimpijczyków będzie w stanie powiedzieć coś więcej.

Niestety jestem teraz na telefonie, ale jutro z samiuśkiego ranka wyślę skan. Jest to zadanie z dość popularnej 'krowy'. Chcę się przygotować do OM, więc zacząłem właśnie od niej.

Za poprawne rozwiązanie niekorzystające z założenia o pierwszości \(\displaystyle{ 10p+1}\) dostałbyś maksymalną ilość punktów. Zdarza się (choć nie często), że w zadaniu są dane niepotrzebne założenia, nikt za poprawny dowód nie ma prawa ścinać punktów.

Vax pisze:[...] nikt za poprawny dowód nie ma prawa ścinać punktów.

Też tak uważam. Ale idee ideami, a życie życiem. Chciałbym, żeby było tak jak piszesz.