Matematyka.pl

mam dany punkt \(\displaystyle{ P=(2 ,-3)}\) i równanie prostej \(\displaystyle{ k: \ 2x-3y=0}\). Trzeba napisać równanie prostej prostopadłej oraz równoległej do \(\displaystyle{ k}\).

Sprowadź do równania \(\displaystyle{ y=ax+b}\). Istnieją pewne wzory na wyznaczanie tych prostych.
\(\displaystyle{ a_{1}=a_{2}}\) to \(\displaystyle{ y=a_{1}x+b_{1}}\) i \(\displaystyle{ y=a_{2}x+b_{2}}\) są równoległe
\(\displaystyle{ a_{1}a_{2}=-1}\) to \(\displaystyle{ y=a_{1}x+b_{1}}\) i \(\displaystyle{ y=a_{2}x+b_{2}}\) są prostopadłe.

l - równoległa
m - prostopadła
\(\displaystyle{ k: 2x - 3y = 0\\
k: y = \frac{2}{3}x\\
P = \left(2, -3\right)\\
\\
l: y = \frac{2}{3}x + b\\
-3 = \frac{2}{3}\cdot2 + b\\
b = -3 -\frac{4}{3}\\
b = -\frac{13}{3}\\
l: y = -\frac{2}{3}x - \frac{13}{3}\\
m: y = -\frac{3}{2}x + b\\
-3 = -\frac{3}{2}\cdot2 + b\\
b = -3 + 3\\
b = 0\\
m: y = -\frac{3}{2}x}\)

W rozwiązaniu wyżej jest jeden błąd nieuwagi przy prostej \(\displaystyle{ l}\) - jest zły znak w rozwiązaniu.

Ja zawsze preferowałem równanie ogólne prostej \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\). Wtedy równanie prostej równoległej ma postać \(\displaystyle{ Ax+By+C_1=0}\) (trzeba wyznaczyć to \(\displaystyle{ C_1}\) podstawiając współrzędne punktu \(\displaystyle{ P}\)). Natomiast równanie prostej prostopadłej ma postać \(\displaystyle{ Bx-Ay+C_2=0}\) (\(\displaystyle{ C_2}\) trzeba wyznaczyć jak wcześniej).

Jeśli dana jest prosta \(\displaystyle{ k: 2x-3y=0}\) i punkt \(\displaystyle{ P=(2,-3)}\), to odpowiednio prosta równoległa (\(\displaystyle{ l}\)) i prostopadła (\(\displaystyle{ m}\)) do \(\displaystyle{ k}\) i przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ P}\) mają postać:

\(\displaystyle{ l:2x-3y+C_1=0}\) (teraz wstawiamy za \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) współrzędne punktu)
\(\displaystyle{ 2\cdot 2 - 3\cdot (-3)+C_1=0\\
4+9+C_1=0\\
C_1=-13}\)

Wynik w postaci ogólnej: \(\displaystyle{ l:2x-3y-13=0}\)

\(\displaystyle{ m:-3x-2y+C_2=0}\) (teraz wstawiamy za \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) współrzędne punktu)
\(\displaystyle{ (-3)\cdot 2 - 2\cdot (-3)+C_2=0\\
-6+6+C_2=0\\
C_1=0}\)

Wynik w postaci ogólnej: \(\displaystyle{ m:-3x-2y=0}\)

Sposoby rozwiązywania tych zadań to osobista kwestia gustu - jedni liczą tak a inni tak