Matematyka.pl

Równanie wygląda tak \(\displaystyle{ e^x=-x^2+2x+5}\)
Udało mi się z tw. Darboux wykazać, że ma co najmniej dwa rozwiązania rzeczywiste. Ale nie wiem, jak pokazać, że są co najwyżej dwa pierwiastki.

\(\displaystyle{ f(x)=e^{x}+2x^{2}-2x-5}\)

Nie dasz rady zobaczyć że funkcja od któregoś tam momentu jest rosnąca więc nie przetnie osi?

Analogicznie w drugą strone?

Posłuchaj na początku rady kolegi wyżej i spróbuj sam, a jako, że już napisałem to nie będę kasował.

Rozpatrzmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=e^x+x^2-2x-5}\), łatwo zauważyć, że jest ciągła. Dodatkowo jej druga pochodna \(\displaystyle{ f''(x)=e^x+2>0}\), zatem z tego wynika, że jej pierwsza pochodna \(\displaystyle{ f'(x)=e^x+2x-2}\) jest ściśle rosnąca oraz wnioskujemy, że przetnie się z osią \(\displaystyle{ OX}\) tylko w jednym punkcie, stąd wynika, że \(\displaystyle{ f(x)}\) jest pierw ściśle malejąca, a potem ściśle rosnąca - z tego mamy, że może mieć co najwyżej dwa miejsca zerowe.

Ok, bardzo dziękuję.
Czy jest sposób, by łatwiej szacować minimalną liczbę pierwiastków niż poprzez tw. Darboux?

sulaw pisze:Równanie wygląda tak \(\displaystyle{ e^x=-x^2+2x+5}\)
Udało mi się z tw. Darboux wykazać, że ma co najmniej dwa rozwiązania rzeczywiste. Ale nie wiem, jak pokazać, że są co najwyżej dwa pierwiastki.

Zdefiniowana wyżej funkcja

\(\displaystyle{ f(x)=e^x+x^2-2x-5}\)

jest wypukła, stąd można również wywnioskować tezę odrobinę szybciej.

Czy wystarczy pokazać, że w jednym punkcie funkcja przyjmuje wartość ujemną i dalej z wypukłości? Bo nie za bardzo widzę teraz, jak działa Twoja metoda.

sulaw pisze:Czy wystarczy pokazać, że w jednym punkcie funkcja przyjmuje wartość ujemną i dalej z wypukłości?

Dokładnie tyle wystarczy.

Czy tu się przypadkiem stwierdza, że każda funkcja wypukła, która przyjmuje pewną wartość ujemną, ma dokładnie dwa miejsca zerowe?

Dasio11, oczywiście, że nie. Funkcja liniowa jest doskonałym kontrprzykładem. Funkcja \(\displaystyle{ f}\) zdefiniowana wcześniej ma jednak co najmniej dwa miejsca zerowe. I jest dobrej klasy. Dla tej właśnie funkcji stosujemy argument wypukłości (nie dla dowolnej!).

Hm, ano dobrze. Przyznam, że posiadanie przez funkcję dwóch miejsc zerowych w połączeniu z jej wypukłością w dość obrazowy sposób wystarcza, żeby więcej miejsc zerowych nie było. Ale z dyskusji zrozumiałem, że wypisanie tych własności ma stanowić kompletny argument, co mnie nie przekonuje.