Matematyka.pl

Cześć, moje zadanie jest następujące: mam szereg liczbowy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty} (-1) ^{n+1} \sin( \frac{1}{n})}\) i chcę udowodnić jego zbieżność z pomocą kryterium porównawczego. Wybieram sobie szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1) ^{n+1}( \frac{1}{n} )}\), który jest rozbieżny. Więc \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{(-1) ^{n+1} \sin( \frac{1}{n})}{(-1) ^{n+1}( \frac{1}{n})}= \infty}\) implikuje, że szereg jest zbieżny. Czy można w ten sam sposób udowodnić zbieżność bezwzględną? Jeśli nie, to proszę o wyjaśnienie dlaczego.

Popełniłeś parę błędów w rozumowaniu.

1. Szereg

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n}}\)

jest zbieżny.

2. Kryterium ilorazowe działa tylko dla szeregów o wyrazach dodatnich.
3. Gdy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_n}\) jest zbieżnym szeregiem o wyrazach dodatnich a \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) - jakimś szeregiem o wyrazach dodatnich, oraz

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \infty,}\)

to nie wynika z tego zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n.}\)



Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \sin \frac{1}{n}}\) nie jest bezwzględnie zbieżny. Udowadnia się to, stosując kryterium ilorazowe do porównania zbieżności szeregów

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1)^{n+1} \sin \frac{1}{n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{n}}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}.}\)

Wyliczamy, że

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1,}\)

więc skoro szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}}\) jest rozbieżny, to również szereg

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1)^{n+1} \sin \frac{1}{n} \right|}\)

jest rozbieżny.

Zaraz, zaraz.
1. Kriterium porownawcze dziala tylko dla szeregow o wyrazach dodatnich.
2. Szereg \(\displaystyle{ \sum_n^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}}\) jest zbiezny.
3. Podana przez ciebie granica nie jest rowna nieskonczonosc, a 1.

Zadanie nalezy zrobic tak: Kazdy szereg znakozmienny trzeba badac na zbieznosc bezwzgledna/warunkowa. Dany szerego nie jest zbiezny bezwgldnie, bo szereg zlozony z modulow wyglada tak:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}}\)

i jest rozbiezny (tu mozesz zastosowac kryteriu porownawcze w wersji asymptotycznej i porownac ten szereg z rozbieznym szeregiem \(\displaystyle{ \sum\frac{1}{n}}\))

Sam szereg jest zas zbiezny, co wynika z kryterium Leibniza.
Czyli dany szereg jest zbiezny warunkowo.

Dziękuję.