Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ SABC}\) będzie czworościanem o objętości \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ G}\) -środek ciężkości trójkata \(\displaystyle{ ABC}\), \(\displaystyle{ O}\) - środek odcinka \(\displaystyle{ SG}\). Niech \(\displaystyle{ S'A'B'C'}\) będzie obrazem w symetrii środkowej \(\displaystyle{ SABC}\) względem \(\displaystyle{ O}\). Oblicz objętość części wspólnej \(\displaystyle{ SABC}\) oraz \(\displaystyle{ S'A'B'C'}\).

Częścią wspólną jest równoległościan o krawędziach przy wierzchołku o mierze: \(\displaystyle{ SA/3, SB/3, SC/3}\). Wiadomo, że objętość równoległościanu to jest \(\displaystyle{ 6}\) razy objętość czworościanu \(\displaystyle{ T }\) powstałego z wycięcia jednego z naroży z zachowaniem krawędzi przy wierzchołku. Ponieważ \(\displaystyle{ T}\) jest podobny do \(\displaystyle{ SABC}\) w skali \(\displaystyle{ 1/3}\), to jego objętość jest równa \(\displaystyle{ 1/27}\) objętości \(\displaystyle{ SABC}\), czyli \(\displaystyle{ 1/27}\). Ostatecznie dostajemy objętość części wspólnej równą \(\displaystyle{ 6/27 = 2/9}\).