Matematyka.pl

Licznik Geigera-Müllera i źródło promieniowania umieszczono względem siebie tak, że prawdopodobieństwo zarejestrowania przez licznik wypromieniowanej cząstki wynosi \(\displaystyle{ 0,001}\). Korzystając z Centralnego Twierdzenia Granicznego oszacować prawdopodobieństwo zarejestrowania nie więcej niż \(\displaystyle{ 2}\) na \(\displaystyle{ 10000}\) wypromieniowanych cząstek. Jaka jest najmniejsza liczba wypromieniowanych cząstek żeby licznik zarejestrował z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,99}\) co najmniej \(\displaystyle{ 2}\) cząstki?

--------
Centralne Twierdzenie Graniczne - Tw. Lindeberga-L'evy'ego (znam w podanej niżej postaci)

Niech \(\displaystyle{ \{X_n\}}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie prawdopodobieństwa z wartością oczekiwaną \(\displaystyle{ \mu=E(Xn)}\) oraz wariancją \(\displaystyle{ \sigma^{2}=V(Xn)>0}\).

Wówczas dla \(\displaystyle{ S_n=\sum_{i=1}^{n}X_{i}}\) mamy:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to +\infty}P(\frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\lex)=\o(x)}\)

gdzie \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\), a \(\displaystyle{ \o (x)}\) jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego

\(\displaystyle{ P(S_n \le x) \approx \o (\frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}})\quad n\ge 50}\)

--------
Centralne Twierdzenie Graniczne - Tw. Moivre'a-Laplace'a (znam w podanej niżej postaci)

Niech \(\displaystyle{ \{S_n\}\sim B(n,\ p)}\), \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ p\in (0,1)}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to +\infty} P(\frac{S_n - np}{\sqrt{np(1-p)}}\le x)=\o (x)}\)

gdzie \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\), a \(\displaystyle{ \o (x)}\) jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego.

--------

Na moje oko to w zad. skorzystałbym z Tw. Moivre'a-Laplace'a tylko nie bardzo wiem czym w tym zadaniu jest \(\displaystyle{ \{S_n\}}\) i jakie wartości przyjmuje.

a)Integralne twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a
\(\displaystyle{ n =10000, p=0.01, 1-p=0.99}\)
\(\displaystyle{ Pr\left\{X\leq 2\right\} =?}\)

b)\(\displaystyle{ Pr\left\{X\geq 2 \right\}= 1 -Pr\left\{X<2\right\}=0.99, n=?}\)

Co rozumiesz przez \(\displaystyle{ Pr\left\{X\leq 2\right\}}\)? Czy \(\displaystyle{ Pr(x)}\) to po prostu standaryzowana gęstość rozkładu normalnego? Czyli \(\displaystyle{ Pr\left\{X\leq 2\right\}=\o (2) \approx 0,9772}\) gdzie \(\displaystyle{ \o (x)}\) to dystrybuanta standaryzowanego rozkładu normalnego?

Wzór de Moivre'a -Laplace'a:
\(\displaystyle{ Pr\left\{X\leq k \right \}= Pr\left\{\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq \frac{k-np}{\sqrt{np.(1-p)}}\right\} =Pr\left\{Y \leq \frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right\} = \phi\left (\frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)}\)
\(\displaystyle{ k=2, n=10000, p=0.001, (1-p)=0.999.}\)

OK. Prawdopodobieństwo wyszło mi \(\displaystyle{ 0,0057}\), a liczba cząstek równa (w zaokrągleniu) \(\displaystyle{ 8978}\).

Rozwiązując drugą część zadania dostałam dwa rozwiązania,dlaczego to drugie odrzucamy?