Matematyka.pl

Witajcie, mogę spytać gdzie w moim rozumowaniu znajduje się błąd?

Treść zadania:

Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = 2y, \quad z^2 = x^2 + y^2, \quad z = 0 \ (z \ge 0)}\)

Czyli mamy tutaj kawałek walca od dołu ograniczonego płaszczyzną \(\displaystyle{ XY}\), od góry kawałkiem stożka. No to dajemy współrzędne walcowe:

\(\displaystyle{ x = r \cos{\varphi} \\ y = r \sin{\varphi} \\ z = h}\)

A więc, mój stożek to teraz:
\(\displaystyle{ r = h}\)

A mój walec to teraz:
\(\displaystyle{ r = 2 \sin{\varphi}}\)

No i zabieram się za ograniczanie:
\(\displaystyle{ h \in \left[ 0, 2\right] \\ \varphi \in \left[ 0, \frac{\pi}{2}\right) \\ r \in \left[0, 2 \sin{\varphi} \right]}\)

No i jak zwykle kiszka mi z tego wychodzi... Poprawna odpowiedź to \(\displaystyle{ \frac{32}{9}}\), a mi wyszło marne \(\displaystyle{ \pi}\)

Pomocy!

\(\displaystyle{ 0 \le \phi \le \pi}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi }d\phi \int_{0}^{2sin\phi} ( \sqrt{r ^{2} }r ) dr}\)
i wynik wychodzi jak powinien wyjść.

kerajs pisze:\(\displaystyle{ 0 \le \phi \le \pi}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi }d\phi \int_{0}^{2sin\phi} ( \sqrt{r ^{2} }r ) dr}\)
i wynik wychodzi jak powinien wyjść.

tą metodą wyjdzie chyba 64/9